21.Види задач на пропорційнеділення

№ зад	Величини			Задачі
	ціна	кількість	вартість
I	Стала	Дано два абобільшезначень	Дано суму значень, яківідповідаютькількості. Знайтидоданки	Дівчинка купила по однаковійціні1 кг груш і 2 кгяблук .Всього вона заплатила 18 грн. Скількикоштувалиокремогруші і яблука?
II	Стала	Дано суму значень, яківідповідаютьвартості. Знайтидоданки	Дано два абобільшезначень	Дівчинка купила по однаковійцінігруші і яблука, всього3 кг. Загруші вона заплатила 12 грн., а за яблука 6 грн. Скількибуло куплено окремокілограмівяблук і груш?
III	Дано 2абобільшезнач	Стала	Дано суму значень, яківідповідаютьціні. Знайтидоданки	Умагазині продали однаковукількістьсорочок і штанів. Сорочка коштувала 80 грн., а штани 100 грн. За всіпроданіречівиручили 540 грн. Скількикоштувалиокремо сорочки і штани?
IV	Дано суму знач, які відповід вартості. Знайти доданки	Стала	Дано два або більше значень	У магазині продали однакову кількість сорочок і штанів. Сорочка з штанами коштувала 180 грн. За всі сорочки виручили 240 грн., а за всі штани 300 грн. Скільки коштувала сорочка і скільки коштували штани?

У початкових класах задачі на пропорційне ділення розв’язують лише способом знаходження сталої величини.

У процесі ознайомлення з задачами на пропорційне ділення краще пропонувати їх не в готовому вигляді, а скласти разом з дітьми із задач на знаходження четвертого пропорційного. Це допоможе дітям побачити зв’язки між задачами цих видів, що швидше приведе учнів до узагальнення способу їх розв’язування.

Учням пропонують скласти задачу за її коротким записом:

Ціна	Кількість	Вартість
Однакова	6 зошитів 4 зошити	12 грн. ?

Розв’язавши задачу, складену за даною умовою, вчитель записує замість знака запитання число, знайдене у відповіді ( 8 грн.). Потім він пропонує знайти суму чисел, які показують вартість зошитів (20 грн.), і скласти задачу за новою умовою:

Ціна	Кількість	Вартість
Однакова	6 зошитів 4 зошити	?                20 грн. ?

Діти складають задачі на пропорційне ділення, ставлячи два запитання:

¾ Скільки заплатив перший покупець?

¾ Скільки заплатив другий покупець?

Учитель пояснює, що ці два запитання можна замінити одним:

¾ Скільки грошей заплатив кожний покупець?

В остаточному вигляді задачу формулюють так: “Два хлопчики купили зошити по однаковій ціні. Перший купив 6 зошитів, а другий 4. Усього вони заплатили 20 грн. скільки грошей заплатив кожний хлопчик?”

¾ Про що треба дізнатися в задачі?

¾ Що означає “кожний”?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки заплатив перший хлопчик?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу визначити ціну зошита?

¾ Чому не можна?

¾ Чи можна відразу дізнатися, скільки купили зошитів на 20 грн.?

¾ Чому можна?

¾ Що визначимо в першій дії; другій; третій; четвертій?

Розв’язання задачі записують у формі окремих дій з поясненнями. Потім розв’язують готові задачі. У цьому разі треба спочатку розчленити запитання задачі на два запитання, потім з’ясувати, яке з шуканих чисел має бути більше і чому; далі слід перейти до складання плану розв’язування, провадячи міркування від запитання до числових даних. Розв’язання перевіряють, встановлюючи відповідність між числами, знайденими у відповіді, і отримати число, задане в задачі

Можливі й інші підходи до введення задач на пропорційне ділення. Можна, наприклад, почати з розв’язування готових задач, а пізніше виконати роботу щодо перетворення задачі на знаходження четвертого пропорційного в задачу на пропорційне ділення, порівнявши як самі задачі, так і їх розв’язання.

Для узагальнення способу розв’язування розглядають задачі на пропорційне ділення I виду з іншими групами величин, після чого вводять задачі II виду, а трохи пізніше – III і IV видів. При цьому поряд із розв’язуванням готових задач слід включати вправи творчого характеру на складання і перетворення задач

М.В. Богданович пропонує ознайомлювати дітей із задачами на пропорційне ділення у 4 класі. Спочатку учні виконують підготовчі завдання. Підготовка учнів до ознайомлення із задачами на пропорційне ділення складається з таких етапів:

1. Розв'язування задач на дві дії, першою з яких с задача на знаходження суми двох доданків, а друга — на ділення на рівні частини.

2. Розв'язування задач на три дії, першою з яких є задача на знаходження суми двох доданків, друга — на ділення на рівні частини, а третя — на знаходження добутку як суми однакових доданків.

Поступово задачі на пропорційне ділення ускладнюються. Розглянемо пару аналогічних задач. Учні, розв’язавши першу задачу колективно, наступну задачу розв’язують за аналогією.

Розв'язування підготовчих задач активізує діяльність учнів при опрацюванні задач нового типу.

23.Розкрити методику вивчення рівнянь в поч.класах (етапи вивчення теми). Застосування алгоритмічний підхід до розв’язування рівнянь виду: (24–х):4=80 і 15:х+9=14

Поняття рівностей, нерівностей та рівнянь розкриваються у взаємозв’язку. Робота над ними ведеться з першого класу, органічно з’єднуючись з вивченням арифметичного матеріалу.

Одначе в процесі роботи над рівняннями, зі змінною учні, підставляючи різні значення змінної, накопичують спостереження та переконуються в тому, що рівності та нерівності бувають як правильні, так і неправильні. Такий підхід до розкриття понять дає змогу розкрити методику роботи над рівностями та нерівностями, рівняннями.

В співставленні з програмою в I – III класах роздивляємось рівняння першого ступеня з одним невідомим виду:

7 + х = 10, х – 3 = 10 + 5, х . (17 – 10) = 70, х : 2 + 10 = 30.

Невідоме число спочатку знаходять підбором, а пізніше на основі знання зв’язку між результатами та компонентами арифметичних дій (т. є. знання способів знаходження невідомих компонентів). Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями.

На підготовчому етапі до введення перших рівнянь при вивченні складання та віднімання в межах 10 учні встановлюють зв’язок між сумою та добутком.

Крім того, к цьому часу діти оволодівають вмінням порівнювати вираз та число та отримують перші уявлення про числові рівності виду: 6 + 4 = 10, 8 = 5 + 3.Велике значення в плані підготовці к введенню рівнянь мають вправи на підбір пропущеного числа в рівностях виду: 4 + =6, 5 - =2, - 3 = 7. В процесі виконання таких вправ діти звикають до думки, що невідомим може бути не тільки сума або різниця, але і одне з доданків (зменшуване чи від’ємник).

Знайомство з рівняннями проходить при вирішенні задач з числами, наприклад: „К невідомому числу додали 3 та отримали 8. Знайти невідоме число ”. По даній задачі складається приклад с невідомим числом, який може бути записан так:

+ 3 = 8. Потім вчитель записує. Що в математиці прийнято позначати невідоме число латинськими літерами. Дається запис та читання однієї з літер – х (ікс). Пропонується означити невідоме число буквою та прочитати приклад. Ставиться мета навчитися вирішувати такі приклади.

Ці рівняння діти вирішують підбором: замість невідомого підставляють (наприклад, за допомогою розрізних цифр) одне за одним числа з множин чисел, даних вчителем, поки не знайдуть такого, яке „підходить” (при якому отримується правильний запис).

Вчитель на дошці, а діти в зошитах записують вирішення так:

х + 3=7 х – 3 =7 7 – х =5

х = 4 х =10 х =2

Вчитель пояснює, що такі приклади називають рівняннями, що знайти невідоме число – значить вирішити рівняння. Визначення рівняння та кореня рівняння не дається в початкових класах. Учні тренуються в читанні, записі та вирішенні рівнянь. Показують різні форми читання: „К якому числу треба додати 2, щоб отримати 9”, „Перший доданок 4, другий невідомо, сума дорівнює 7; чому дорівнює другий доданок? ” При вирішенні перших рівнянь діти опираються на операції над множинами, на знання складу числа, на встановлення відношень між результатами та компонентами дій (при складанні найбільше число – сума, вона складається з доданків; при відніманні найбільше число – зменшуване, воно складається з від’ємника та різниці).

Приблизно в такому ж плані в II класі вводять рівняння виду: х . 3 =12, 5 . х = 10,

х : 2 = 4, 6 : х = 6, які також спочатку вирішуються підбором. Поданий спосіб вирішення використовують к рівнянням, де обчислення здійснюються над табличними випадками дій, таким чином, вирішення рівнянь забезпечує засвоєння таблиць та складу числа (з доданків та множників).

Пізніше, коли учні засвоять знання зв’язків між результатами та компонентами арифметичних дій, рівняння починають вирішувати на основі знань правил знаходження невідомого компоненту. Учні пояснюють вирішення рівнянь (наприклад, х + 28 = 40) так: читаю рівняння (перший доданок невідомий, другий 28, сума 40); згадую правило, як знайти невідоме число (невідомий доданок отримаємо, якщо з суми 40 віднімемо другий доданок 28); обчислюю (40 – 28 =12, х =12); перевіряю (підставляю число 12 в ліву частину рівняння; обчислюю 12 + 28 =40, порівнюю 40=40, значить, рівняння вирішено правильно).

Зараз вирішення рівнянь формується наступним чином:

х + 5 = 25 х – 8 = 20

х = 25 – 5 х = 20 + 8

х = 20 х = 8

З метою формування вмінь вирішувати рівняння пропонують різні рівняння:

1) Вирішіть рівняння та виконайте перевірку.

2) Виконайте перевірку вирішених рівнянь, поясніть помилки в невірно вирішених рівняннях:

3) Складіть рівняння з числами х, 7, 10, вирішіть та перевірте вирішення.

4) З заданих рівнянь виберіть та вирішіть ті, в яких невідоме число знаходять відніманням (діленням).

5) З заданих рівнянь випишіть ті, в яких невідоме число дорівнює 8.

6) Розгляньте вирішення рівнянь, визначте, чим являється невідоме в рівнянні та вставте пропущений знак дії:

х * 2 = 12 х * 2 = 12

х = 12 : 2 х = 12 . 2

7) Вирішіть рівняння; порівняйте рівняння та їх вирішення:

х + 8 = 40 х . 3 = 24

х – 8 = 40 х : 3 = 24

Після того як учні навчаться вирішувати найпростіші рівняння, в II класі включаються рівняння виду: х + 10 = 30 – 7, х + (45 – 17) = 40 та т. п. Для вирішення таких рівнянь необхідні знання дій в виразах, а також вміння виконувати найпростіші перетворення виразів.

Першими роздивляються рівняння, в яких права частина задається не числом, а числовим виразом, наприклад: х + 25 = 50 – 14 або х + 25 = 12 . 3 та т.п. При вирішенні подібних рівнянь учні обчислюють значення виразів в правій частині, після чого рівняння зводяться до найпростішого.

Далі включаються рівняння, в яких у вигляді числового виразу задано один з компонентів, наприклад: х + (60 – 48) =20, (36 + 8) – х = 30. Корисно вчити ці рівняння з назвами компонентів (наприклад: „Перший добуток невідомо, другий представлено різницею чисел 60 та 8, сума дорівнює 20”). Щоб прочитати рівняння, треба у виразі встановити порядок дій, виділити останню дію, згадати, як називаються числа при виконанні цієї дії, та прочитати з назвою компонентів та результату.

На закріпленні вмінь вирішувати рівняння роздивляємось певні структури, вводимо у другому класі рівняння, вирішення яких опирається на знання зв’язку між результатами і компонентами тільки дій додавання та віднімання; в третьому класі – всіх чотирьох дій.

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА, СТОСОВНО (24–х):4=80і 15:х+9=14

Найбільш складним виявляються рівняння, в яких один з компонентів – вираз, в якому є невідоме число, наприклад: (х + 8) – 13 =15, 70 + (40 – х)= 96 та т.п., так як при вирішенні рівнянь даної структури треба два жди використовувати правила знаходження невідомих компонентів. Наприклад, роздивляються на уроці рівняння (12 – х) + 10 = 18.

Вчитель. Навчимося вирішувати такі рівняння. Дуже важливо правильно прочитати його. Яка дія виконується останнею в виразі зліва?

Учень. Остання дія – складання.

Вчитель. Згадайте, як називаються числа при додаванні, та прочитайте це рівняння.

Учень. Перший доданок відображено різницею 12 та х, другий доданок 10, сума 18.

Вчитель (прикріплюються таблички з термінами „доданок”, „сума” ). Куди входить невідоме число?

Учень. В перший доданок.

Вчитель. Як знайти перший доданок?

Учень. Щоб знайти перший доданок, треба з суми відняти другий доданок (записує на дошці: 12 – х = 18 – 10; всі учні пишуть в зошитах).

Вчитель. Такі рівняння ми вирішували. Що тепер треба зробити?

Учень. Обчисліть різницю чисел 18 та 10 (пише: 12 –х = 8).

Вчитель. Що тут невідомо і як знайти невідоме це число? Вирішуйте самостійно. Треба перевірити, правильно лі ви знайшли значення х. Що треба для цього зробити?

Учень. Треба поставити замість х його значення 4 (пише: (12 – 4) + 10), обчисліть з числом в правій частині (пише: 18 = 18).

Так само роздивляємось рівняння 36 – (20 + х) = 10.

Вивчення вирішення цього виду рівнянь потребує довгих вправ в аналізі виразів та гарного знання правил знаходження невідомих компонентів. На перших порах корисні вправи в поясненні вирішених рівнянь. Крім того, треба частіше вирішувати такі рівняння з первинним поясненням, що невідомо і які правила треба згадати, щоб вирішити дане рівняння. Така робота попереджує помилки та дає змогу оволодіти навичками вирішувати такі рівняння.

Білет №24

Розкрити методику вивчення нерівностей в початкових класах(етапи вивчення теми)

Робота над нерівностями ведеться з I класу, органічно поєднуючись з вивченням арифметичного матеріалу. Програма з математики для I-III класів ставить завдання виконувати порівняння чисел, а також порівняння виразів з метою встановлення відносин "більше", "менше", "дорівнює"; навчити записувати результати порівнянняза допомогою знаків   і читати отримані нерівності.  Числові нерівності учні одержують у результаті порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Тому знаками   з'єднуються не будь-які два числа, не будь-які два висловлювання, а лише ті, між якими існують зазначені відносини. Якщо одне число більше (менше) іншого чи один вираз має значення більше (менше), ніж інший вираз, то, з'єднані відповідним знаком, вони утворюють нерівність. Таким чином, спочатку у молодших школярів формуються поняття лише про вірних нерівності.  Однак у процесі роботи над рівняннями, виразами і нерівностями зі змінною учні, підставляючи різні значення змінної, накопичують спостереження і переконуються в тому, що рівності та нерівності бувають як вірні, і невірні. Такий підхід до розкриття понять визначає відповідну методику роботи над равенствами, нерівностями, рівняннями.  Ознайомлення з нерівностями в початкових класах безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації і арифметичних дій.  Порівняння здійснюється спочатку на основі порівняння множин, яке виконується, як відомо, за допомогою встановлення взаємно однозначної відповідності. Цьому способу порівняння множин навчають дітей у підготовчий період і на початку вивчення нумерації чисел першого десятка. Попутно виконується рахунок елементів множин і порівняння отриманих чисел (гуртків 7, трикутників 5, гуртків більше, ніж трикутників, 7 більше, ніж 5). Надалі при порівнянні чисел учні спираються на їх місце в натуральному ряді: 9 менше, ніж 10, тому що за рахунку число 9 називають перед числом 10; 5 більше, ніж 4, бо за рахунку число 5 називають після числа 4.  Встановлені відносини записуються за допомогою знаків   , Учні вправляються у читанні і запису нерівностей.  Згодом при вивченні нумерації чисел в межах 100, 1000, а також нумерації багатозначних чисел порівняння чисел здійснюється або на основі зіставлення їх за місцем у натуральному ряді, або на основі розкладу чисел по десятковому складом і порівняння відповідних розрядних чисел, починаючи з вищого розряду (75 > 48, тому що 7 десятків більше, ніж 4 десятка; 75> 73, так як десятків порівну, а одиниць у першому числі більше, ніж у другому).  Порівняння величин спочатку виконується з опорою на порівняння самих предметів за даній властивості, а потім здійснюється на основі порівняння числових значень величин, для чого задані величини виражаються в однакових одиницях виміру. Порівняння величин викликає труднощі в учнів, тому, щоб навчити цієї операції, треба систематично в I-III класах пропонувати різноманітні вправи, наприклад:  Підберіть рівну величину: 7 км 500 м = □ м, 3080 кг = □ т □ кг.  Підберіть числові значення величин, щоб запис вірною: □ год <□ хв, □ см = □ дм □ см, □ т □ ц = □ кг;  3) Вставте найменування у величин так, щоб запис була вірною: 16 хв> 16 ...  Подібні вправи допомагають дітям засвоїти не лише поняття рівних і нерівних величин, але і відносини одиниць виміру.  Перехід до порівняння виразів здійснюється поступово. Спочатку в процесі вивчення додавання і віднімання в межах 10 діти тривалий час вправляються у порівнянні вираження і числа (числа і вирази). Перші нерівності виду 3 +1> 3, 3-1 <3 корисно отримувати з рівності (3 = 3), супроводжуючи перетвореннявідповідними операціями над множинами. Наприклад, на класній набірному полотні і на партах відкладено 3 трикутника і 3 гуртка і записано: 3 = 3. Учитель пропонує дітям присунути до 3 трикутниках ще 1 трикутник і записати це (3 +1 - запис під трикутниками). Число гуртків не зменшилася (3). Учні порівнюють кількість трикутників і гуртків і переконуються, що трикутників більше, ніж гуртків (4> 3), значить, можна записати: 3 +1> 3 (три плюс один більше, ніж три).Аналогічна робота ведеться над нерівністю 3-1 <3 (три мінус один менше, ніж три).  Надалі вираз і число (число і вираз) учні порівнюють, не вдаючись до операцій над множинами; знаходять значення виразу і порівнюють його із заданим числом, що відбивається в записах:  5 +3> 5 2 <7-4 7 = 4 +5  8> 2 травня <3 7 = 7  Після знайомства з назвами виразів учні читають рівності та нерівності так: сума чисел 5 і 3 більше, ніж число 5; число 2 менше, ніж різниця чисел 7 і 4, і т.п.  Спираючись на операції над множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють найважливіші властивості рівностей і нерівностей (якщо а> b, то b <а).  Діти бачать, що якщо гуртків і трикутників порівну (рис.1), то можна сказати, що Кружков стільки, скільки трикутників (3 +2 = 5), а також трикутників стільки, скільки гуртків (5 = 3 +2). Якщо ж Предметів не порівну (рис.2), то одних - більше (3 + 1> 3), а інших менше (3 <3 + 1).  Надалі при вивченні дій в межах 100, 1000 і 1000000, вправи на порівняння вираження і числа даються на новому числовому матеріалі і збільшується кількість чисел і знаків дій у виразах.  Порівнюючи неодноразово спеціально підібрані вираження і числа, наприклад: 17 +0 і 17, 19-0 і 19, 7-1 і 7, 0: 5 і 0, з +1 і з, з: 1 і с і т.п. , учні накопичують спостереження про особливі випадки дій, глибше усвідомлюють конкретний зміст дій. Вправи на порівняння виразів і числа закріплюють вміння читати висловлювання й сприяють виробленню обчислювальних навичок.  Порівняти два вирази, значить, порівняти їх значення. Порівняння виразів вперше включається вже в кінці вивчення додавання і віднімання в межах 10, а потім при вивченні дій в усіх концентра ці вправи систематично пропонуються учням. Наприклад, треба порівняти Суми: 6 +4 і 6 +3. Учень міркує так: перша сума дорівнює 10, друга-9, 10 більше, ніж 9, отже, сума чисел 6 і 4 більше, ніж сума чисел 6 і 3. Це міркування відображається в записах:  При вивченні дій в інших концентра вправи на порівняння виразів ускладнюються: складнішими стають вираження, учням пропонуються завдання вставити в один з виразів підходяще число так, щоб отримати вірні рівності або нерівності; перевірити, чи вірні рівності (нерівності) дані, невірні виправити, змінивши знак відносини або число в одному з виразів; скласти з даних виразів вірні рівності або вірні нерівності. Самі вираження підбираються таким чином, щоб, порівнюючи вирази, учні спостерігали властивості і залежності між компонентами і результатами дій. Наприклад, після того як встановили за допомогою обчислень, що сума 60 +40 більше суми 60 +30, вчитель пропонує порівнювати відповідні складові цих сум, і діти відзначають, що перші доданки в цих сумах однакові, а другий доданок в першій сумі більше, ніж у другій. Багато разів, помічаючи цю залежність, учні приходять до узагальнення і потім свої знання використовують при порівнянні виразів.  Таким чином, при вивченні всіх концентрів вправи на порівняння чисел і виразів, з одного боку, сприяють формуванню понять про равенствах я нерівностях, а з іншого боку, засвоєнню знань про нумерація та арифметичних діях, а також виробленню обчислювальних навичок.  Нерівності зі змінною виду: х +3 <7, 10-х> 5, х-4> 12, 72: х <36 вводяться в II класі. Заздалегідь ведеться відповідна підготовча робота: включаються вправи, в яких змінна позначається не буквою, а "віконечком" (квадратом), наприклад: □> 0, 6 +4> □, 7 + □ <10 і т.д. Учням пропонується підібрати таке число, щоб отримати вірну запис. При виконанні таких вправ вчитель повинен спонукати дітей до підстановці різних чисел; наприклад, у нерівності □> 0 можна підставити число 1 (1> □), можна 2 (2> □), можна З (3> □) і т.д. Після того як названо кілька чисел, корисно узагальнити спостереження (наприклад, у другому нерівності можна підставити будь-яке число, яке менше 10-від 0 до 9).  Розглядаючи в II класі, наприклад, нерівність х +3 <10, учні шляхом підбору знаходять, при яких значеннях літери х значення суми х +3 менше, ніж 10. У кожному такому завданні дається безліч чисел - значень змінної. Учні підставляють значення літери у вираз, обчислюють значення виразу і порівнюють його із заданим числом. У результаті такої роботи вибирають значення змінної, при яких дана нерівність є вірним.  Терміни "вирішити нерівність", "рішення нерівності" не вводяться в початкових класах, оскільки в багатьох випадках обмежуються підбором тільки кількох значень змінної, при яких виходить правильне нерівність.  Пізніше у вправах з нерівностями значення змінної не даються, учні самі підбирають їх. Такі вправи, як правило, виконуються під керівництвом вчителя.  Можна ознайомити дітей з таким прийомом підбору значень змінної у нерівності. Нехай дано нерівність 7Чk <70. Спочатку встановлюють, при якому значенні k даний твір одно 70 (при k = 10). Щоб твір було менше, ніж 70, слід множник брати менше, ніж 10. Учні виконують підстановку чисел 9, 8 і т.д. до нуля, обчислюють і порівнюють отримані значення виразу із заданим (70) і називають відповідь.  Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, а також допомагають засвоєнню арифметичних знань. Наприклад, підставляючи різні числові значення компонентів, діти накопичують спостереження про зміну результатів дій залежно від зміни одного з компонентів. Тут уточнюються знання дітей про конкретному сенсі кожної дії (так, підставляючи значення від'ємника, діти переконуються в тому, що від'ємник не більше зменшуваного і т.п.). Підбираючи значення літери в нерівностях і равенствах виду: 5 + х = 5, 5-х = 5; 10Чх = 10, 10Чх <10, учні закріплюють знання особливих випадків обчислень. Працюючи з нерівностями, учні закріплюють уявлення про змінну і готуються до вирішення нерівності в IV класі. 

Практичне завдання до Білет №24

Застосувати алгоритмічний підхід до розв’язання нерівностей виду

Використовуючи залежність між компонентами та результатами арифметичних дій, не виконуючи обчислень поясніть розв’язання нерівностей :

24 : …. 24 : 4

44 – 12 ….44-20

Відтворіть міркування учнів.

В лівій частині число 24, в правій 24 : 4 . поділити , значить зменшити в 4 рази, отже ліва частина більша за праву.

В лівій і правій частинах зменшуване однакове 44, від’ємник 12 і 20. Чим більше від’ємник, тим менше вираз. Чим менше від’ємник тим більше вираз. Отже ліва частина буде більше за праву.