- •Глава IV. Линейные дифференциальные уравнения и системы § 1. Общие замечания. Однородные и неоднородные уравнения и системы
- •§ 2. Фундаментальная система решений однородной системы и однородного уравнения
- •§ 3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента
- •Разбор типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Определитель Вронского
- •§ 5. Метод вариации постоянных для неоднородных уравнений и систем
- •Разбор типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
§ 3. Дифференцирование векторов, матриц, определителей. Комплекснозначные функции действительного аргумента
Дифференцирование векторов и матриц осуществляется по обычным правилам:
если вектор-функция, то
если матрица, состоящая из функций от то
Операция дифференцирования является линейной в том смысле, что
для вектор-функций ;
для матриц .
В обеих формулах константы.
Аналогичным образом осуществляется интегрирование вектор-функций и матриц. А именно,
Дифференцирование произведений векторов и матриц (скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, произведение матриц, произведение вектора на скаляр и т.д.) сохраняет многие, но не все свойства, присущие дифференцированию произведения обычных функций. Так, например, если векторы из координаты которых зависят от переменной и их скалярное произведение, то Для векторного произведения также но в общем случае Аналогично этому для произведения матриц Интересно отметить, что а правильная формула выглядит так: Докажем в качестве примера формулу дифференцирования скалярного произведения векторов. Пусть Тогда
Дифференцирование определителя может быть выполнено на основании следующей теоремы.
Теорема.
Доказательство. Определитель матрицы записывается формулой
где суммирование ведётся по всем подстановкам а обозначает количество инверсий в подстановке Поэтому
откуда следует требуемое равенство.
Комплекснозначная функция действительного аргумента определяется как функция от значения которой – комплексные числа. Она может быть представлена в виде где а обычные действительные функции. Функцию можно рассматривать как вектор-функцию поэтому для производной имеет место равенство
Проверим, что для комплексных функций действительного аргумента справедливо равенство
(9)
Действительно, пусть Тогда поэтому
С другой стороны,
Видно, что эти выражения совпадают.
Для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет важное значение функция где . Воспользуемся для преобразования этого выражения формулой Эйлера:
Если где , то
Докажем, что для комплексного числа имеет место обычная формула Действительно,
Разбор типовых примеров
Пример 1. Доказать формулу где и матрицы размеров и соответственно.
Решение. -й элемент произвольной матрицы Х будем обозначать символом Пусть Тогда Отсюда
Пример 2. Вывести формулу дифференцирования смешанного произведения векторов.
Решение.
Пример 3. Доказать, что если вектор имеет постоянную длину, то векторы и перпендикулярны друг другу.
Решение. Так как то скалярное произведение Отсюда получаем: Отсюда получаем: т.е. Это означает, что
Пример 4. Пусть действительная функция, а комплекснозначная. Доказать, что
Доказательство. Пусть где действительные функции. Тогда
Задачи для самостоятельного решения
1. Пусть квадратная -матрица. Выразить через и производные:
а) б) (в случае, когда
в) где обозначает транспонирование.
2. Доказать, что где .
3. Доказать, что для комплекснозначных функций действительного аргумента справедлива формула