Нахождение параметров тренда

Поиск тренда следует производить исходя из данного выше определения, что он является непериодической систематической составляющей. Это означает, что в качестве тренда не следует использовать полиномы, особенно высоких степеней, как, например, в [1]. Кроме того, очень важно учитывать экономическую природу временного ряда. Под этим понимается то, что поскольку объектом исследования является объём продаж товара на разных стадиях его жизненного цикла, то тренд должен изначально учитывать основные закономерности динамики. Так, вполне очевидно, что в качестве тренда не годится экспоненциальная функция, даже если временной ряд отражает бурный рост продаж нового товара. В прогнозной части этот рост неизбежно начнёт тормозиться. Исходя из этого, наиболее подходящей функцией для описания тренда является логарифм, даже если он будет иметь более низкий коэффициент детерминации, чем иные функции.

На рисунке 1 приведены регрессии временного ряда, построенные с использованием различных функций. Экспоненциальная регрессия имеет больший коэффициент детерминации, чем логарифмическая, однако очевидно, что для прогноза она никак не годится. Наибольший коэффициент детерминации имеют степенная и квадратичная регрессии, которые в данном случае получились близкими к линейной. В результате они не отражают неизбежного торможения роста продаж. Даже если оно произойдёт не в ближайший период-два, логарифмическая регрессия всё равно выглядит предпочтительной, хотя и имеет наименьший коэффициент детерминации среди всех представленных. Исходя из приведённых рассуждений, для поиска тренда будет использована логарифмическая регрессия:

. (2)

Рисунок 1. Демонстрация различных регрессий для одинаковых исходных данных (ряд с квадратными маркерами, отражающих динамику продаж некоторого товара.

В качестве объекта исследования для определения темпа роста и прогнозного объёма продаж взят временной ряд с помесячными данными за 2 года. На рисунке 2 исходный ряд имеет квадратные маркеры. В нём явно присутствует сезонность с выраженным низким сезоном в первом полугодии и ростом объёмов продаж во втором полугодии. Получается, что сезонный рост от января к декабрю неизбежно попадает в регрессию, хотя к среднегодовому росту не имеет отношения. Действительно, логарифмическая регрессия, построенная по исходному ряду, имеет более высокие темпы среднегодового роста, чем исходные данные.

Для того чтобы регрессия соответствовала тренду годового роста, из исходного временного ряда предварительно должна быть удалена сезонность. Традиционно эта задача решается методами сглаживания исходного ряда или подбором начала и окончания временного ряда, но такие методы не приводят к гарантированному результату [3]. В идеале для правильного нахождения сезонности из исходного ряда должен быть удалён тренд. Разорвать этот заколдованный круг можно, только решая задачи выделения тренда и сезонности одновременно.

Рисунок 2. Выделение тренда и построение прогноза по исходному временному ряду

Для начала ответим на вопрос, каким образом можно «засечь» присутствие тренда. На рисунке 3 схематично представлен временной ряд, содержащий только сезонность и тренд за 3 года по месяца, где года идут друг за другом. Проделаем с этим графиком следующую манипуляцию: отразим года не друг за другом, а выровняем их по первому месяцу (см. рис. 4). Каким образом присутствие тренда выдаёт себя? Из-за тренда кривые продаж лежат одна над другой. Если ту же манипуляцию проделать предварительно элиминировав тренд, то графики продаж по годам просто бы совпали.

Рисунок 3. Схематическое представление временного ряда с трендом и сезонностью без случайной компоненты.

Рисунок 4. График с рисунка 3 с наложением годовых отрезков друг на друга горизонтальным сдвигом

Реальный же исходный временной ряд помимо тренда и сезонности содержит случайную составляющую и, возможно, другие системные составляющие. Поэтому при выравнивании периодов годовые графики при удалении тренда совпадать, конечно же, не будут. Однако, если использовать меру расстояния между наложенными графиками, то при правильном элиминировании тренда она должна принять минимально возможное значение. Расстояние между наложенными годовыми отрезками назовём невязкой. В качестве меры расстояния можно принять любую положительно определённую функцию, поскольку важно его абсолютное значение.

В таблице 1 приведён пример расчёта невязки. Для её вычисления предварительно необходимо получить значения исходного временного ряда без тренда . На момент вычисления параметры тренда могут быть произвольными. Величина невязки рассчитывается попарно для каждых двух годовых отрезков r и s:

. (3)

В данном случае в качестве меры расстояния взята квадратичная функция. Практика применения метода показала её преимущество перед линейной функцией, поскольку она сильнее штрафует большие отклонения. Для нахождения тренда необходимо решить задачу минимизации суммарной невязки по всем годовым отрезкам:

, (4)

изменяя параметры тренда, в данном случае это переменные a и b функции (2). Тренд, полученный в результате решения этой задачи, и будет искомым наилучшим трендом среди всех возможных. Решение всегда существует, поскольку является выпуклой функцией.

В таблице 1 решение задачи получено с помощью функции «Поиск решения» MS Excel. Результат графически представлен на рисунке 2. Видно, что искомый тренд имеет гораздо меньшее значение параметра a, чем регрессия, построенная по исходному ряду: a=106 у тренда (см. внизу табл. 1) против a=213,7 у регрессии (см. рис. 2).

Таблица 1. Пример расчётов по изложенной методике для одного товара с использованием логарифмического тренда, тыс. руб.

Период, номер	Период, наименование	Продажи, тыс.руб.	Прогноз	Тренд	Ряд без тренда	Невязка	Сезонность
t		Yt	YtТр+YtСез	YtТр	Yt-YtТр	Lrs	YtСез
1	январь_1	718	896	654	65	126 206	242
2	февраль	820	596	727	93	201 379	-131
3	март	570	812	770	-200	234 061	42
4	апрель	894	914	800	94	1 691	114
5	май	652	714	824	-172	15 360	-110
6	июнь	1 036	927	843	193	47 791	84
7	июль	1 364	1 015	859	505	487 508	156
8	август	1 782	1 506	873	908	302 836	633
9	сентябрь	1 306	1 387	886	421	25 816	501
10	октябрь	1 131	1 295	897	234	106 980	398
11	ноябрь	1 645	1 535	907	738	48 452	628
12	декабрь	1 187	1 320	916	270	70 955	404
13	январь_2	1 344	1 167	925	420		242
14	февраль	577	802	932	-355		-131
15	март	1 224	982	940	284		42
16	апрель	1 081	1 061	947	135		114
17	май	905	843	953	-48		-110
18	июнь	933	1 043	959	-26		84
19	июль	771	1 121	965	-193		156
20	август	1 328	1 603	970	358		633
21	сентябрь	1 557	1 476	975	581		501
22	октябрь	1 542	1 378	980	562		398
23	ноябрь	1 503	1 613	985	518		628
24	декабрь	1 526	1 393	989	537		404
25	январь_3		1 236	994			242
26	февраль		867	998			-131
27	март		1 044	1 002			42
28	апрель		1 120	1 006			114
29	май		899	1 009			-110
30	июнь		1 097	1 013			84
31	июль		1 172	1 016			156
32	август		1 653	1 020			633
33	сентябрь		1 524	1 023			501
34	октябрь		1 424	1 026			398
35	ноябрь		1 657	1 029			628
36	декабрь		1 436	1 032			404
Сумма год 1		13 105	12 917	Параметры тренда		1669033
Сумма год 2		14 292	14 481	a =	106
Сумма год 3			15 129	b =	654