Оценки. Статистические ошибки

Выборочные характеристики являются прибли­женными оценками генеральных параметров. Это величины случайные, варьирующие вокруг своих параметров. Оценки генеральных параметров по выборочным характеристикам могут быть точечными и интервальными. Выборочная средняя является оценкой генеральной средней _х, выборочная дисперсия s_х²—оценкой генеральной дисперсии _х², а среднее квадратическое отклоне­ние s_х — оценкой стандартного отклонения _х. Точечные оценки пред­ставляют собой числа («точки»), вычисляе­мые по случайной выборке.

Оценки должны удовлет­ворять следующим требованиям: быть состоя­тельными, эффективными и несмещенными. Если распределение анализируемого признака не сильно отличается от нормального вида, его свойства можно описать двумя параметрами: математическим ожиданием статистики _х и ее дисперсией _х². Точечная оценка статистики называется состоятельной, ес­ли при увеличении объема выборки она стремится к величине генерального параметра (  _х, S_x²  _х²). Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распреде­ления по сравнению с другими аналогичными оценками, т. е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию (при сравнении средней арифметической, медианы и моды). Оценка называ­ется несмещенной, если математическое ожидание ее совпадает со значением генерального па­раметра. Выборочная средняя - несмещенная оценка генеральной средней _х, но выборочная дисперсия S_x² и среднее квадратическое отклонение S_x оказываются смещенными относительно параметров _х² и _х. То есть, для получения несмещенных дисперсии и СКО сумму квадратов отклонений нужно относить не к числу наблюдений, а к числу степеней свободы k = n – 1.

Статистические ошибки. Выборочные характеристики, как правило, не совпадают по абсолютной величине с соответствую­щими генеральными параметрами. Величину отклонения выбо­рочного показателя от его генерального параметра называют статистической ошибкой или ошибкой репрезентативности. Ста­тистические ошибки присущи только выборочным характери­стикам, они возникают в процессе отбора вариант из генераль­ной совокупности. Для измерения ошибки репрезентативности некоторой ста­тистики может служить дисперсия выборочного распределения или значение среднего квадратического отклонения, которое называют также квадратической ошибкой статистики S (стандартной ошибкой, Standard Error for Mean). Квадратическая ошибка репрезентативности средней арифметической может быть най­дена по формуле:

S =

Ошибками репрезентативности сопровождаются и все прочие показатели статистики, например, дисперсия и СКО

;

Статистические ошибки характеризуют варьирование выборочных показателей вокруг своих генеральных параметров. Чем сильнее варьирует признак, тем больше при прочих равных условиях будет ошибка выборочных показателей. Ошибки репрезентативности уменьшаются при увеличении объема выборки. Чем меньше ошибка, тем ближе выборочная характеристика к величине генерального параметра. Показатель точности оценок – отношение ошибки репрезентативности к своей средней:

Cs = S / *100