Основные характеристики статистических совокупностей. Средние величины и показатели вариации. Квантили и выбросы

Основной характеристикой статистических совокупностей или вариационных рядов являются средние величины: степенные (средняя арифметическая, квадратическая, и.т.д.) и структурные (медиана, мода).

Средняя величина - это наиболее типичное для совокупности значение признака.

В статистике выделяют несколько видов средних величин:

1. По наличию признака-веса: а) невзвешенная средняя б) взвешенная средняя

2. По форме расчета: а) средняя арифметическая; б) средняя гармоническая; в) средняя геометрическая; г) средняя квадратическая, кубическая и т.д.

3. По охвату совокупности: а) групповая средняя; б) общая средняя.

Средние величины обозначают теми же строчными буквами латинского алфавита, что и варианты, но над этой буквой ставят черту. Так, если признак обозначен через Х, его числовые значения выражают буквой х_i, среднюю арифметическую – .

В случае если известны лишь экстремальные значения признака (х_min и х_max), то средняя рассчитывается как корень квадратный произведения между ними.

=

Средняя арифметическая невзвешенная величина рассчитывается:

=

x_i – индивидуальные значения признака отдельных единиц (i-того элемента) совокупности; n – число наблюдений.

Степенные средние.

Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если данные представлены вариационным рядом:

=

f_i – значения частоты вариант каждой единицы вариационного ряда x_i.

Общую среднюю арифметическую нескольких однородных, но неравных по числу входящих в них объектов, групп определяют по формуле:

где ₁, ₂, _k – средние арифметические величины каждой однородной группы (групповые), n₁, n_2, n_k – объемы этих групп.

Средняя квадратическая _q

невзвешенная и взвешенная

Средняя кубическая _Q.

невзвешенная и взвешенная

Средняя гармоническая величина _h

невзвешенная и взвешенная

Средняя геометрическая величина _g

Структурные средние: медиана (Ме) – это средняя, относительно которой, ряд распределения делится на две половинки. Мода (Мо) – величина, которая встречается в данной совокупности наиболее часто.

Для характеристики варьирующих признаков используют показатели вариации (с использованием средней арифметической величины и структурные).

Одним из таких показателей являются лимиты (lim) - значения минимальной x_min и максимальной x_max вариант совокупности.

Размах вариации (R), отражает пределы изменчивости признака или амплитуду вариации и рассчитывается как разность между максимальной (x_max) и минимальной величиной признака (x_min):

R = (x_max)  (x_min)

Лимиты, размах вариации выражаются в единицах измерения изучаемого признака.

Среднее линейное отклонение (đ) – величина, отражающая среднее отклонение от среднего значения в совокупности, она показывает диапазон, в котором лежит основная масса значений признака вокруг средней величины:

х_i – индивидуальные значения исследуемого признака; – среднее значение исследуемого признака; n – объем выборки.

Среднее линейное отклонение имеет такие же единицы измерения, как индивидуальные значения признака.

Сумму квадратов отклонений вариант от их среднего значения называют девиатой:

Средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их выборочной средней называется смещенной дисперсией (Variance):

невзвешенная взвешенная

Несмещенная дисперсия:

Невзвешенная взвешенная

Смещенную дисперсию рассчитывают для генеральной совокупности, несмещенную - для выборки. Разность (n-1), обозначаемую в дальнейшем k, называют числом степеней свободы, под которым понимают число свободно варьирующих единиц статистической совокупности.

Среднее квадратическое отклонение – (стандартное отклонение, Standard Deviation) корень квадратный из дисперсии:

невзвешенная взвешенная

Нормированное отклонение - отклонение варианты от средней величины, отнесенное к величине среднего квадратического отклонения

Этот показатель позволяет измерять отклонения отдельных вариант от среднего уровня и сравнивать их для разных признаков.