1.1.2 Применение метода контурных токов
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.
Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной.
В заданной цепи (рисунок 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (ABCA, BCDB, AFCDA) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.
Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры – это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.
Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.
На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:
стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;
составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.
I k1(R1 + r01 + R3 + R4) – Ik2(R1 + r01) – Ik3R4 = E1
-Ik1(R1 + r01) + Ik2(R1 + r01 + R5 +R6) – Ik3R6 = -E1
-Ik1R4 – Ik2R6+ Ik3(R2 + r02 + R4 + R6) = -E2
П
одставляем
в уравнение численные значения ЭДС и
сопро
тивлений.
102∙Ik1 – 46∙Ik2 – 24∙Ik3 = 30
-46∙Ik1 + 122∙Ik2 – 15∙Ik3 = -30
-24∙Ik1 – 15∙Ik2 + 93∙Ik3 = -20
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3.
;
;
;
.
Вычисляем контурные токи:
A;
A;
A.
Действительные токи ветвей:
I1 = Ik1 – Ik2 = 0.146 – (-0.217) = 0.363 A;
I2 = Ik3 = 0.212 A;
I3 = Ik1 = 0.146 A;
I4 = Ik1 – Ik3 = 0.146 – (-0.212) = 0.358 A;
I5 = -Ik2 = 0.217 A;
I6 = Ik3 – Ik2 = -0.212 – (-0.217) = 0.005 A.
1.1.3 Применение метода наложения.
По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.
а) Определяем частные токи от ЭДС Е2 при отсутствии ЭДС Е1, т. е. рассчитываем цепь по рисунку 1.2. Решаем задачу методом «свертки».
R101 = R1 + r01 = 45 + 1 = 46 Ом
В заданной электрической цепи сопротивления R3, R4 и R101 соединены в треугольник, который для упрощения преобразуем в звезду.
Определяем сопротивления:
Ом
Ом
Ом
R5B = R5 + RB = 75.431 Ом
R6C = R6 + RC = 25.823 Ом
Ом
Rэ = R5B6C + RA + R2 = 79.766 Ом
Ток источника
А
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
А
А
Рисунок 1.2 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E1
б) Определяем частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем простую цепь по рисунку 1.3.
Решаем задачу методом «свертки».
R202 = R2 + r02 = 53 + 1 = 54 Ом
В заданной электрической цепи сопротивления R3, R4 и R202 соединены в звезду, которую для упрощения преобразуем в треугольник.
Определяем сопротивления:
Ом
Ом
Ом
Рисунок 1.3 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E2
Ом
Ом
R5∆16∆2 = R5∆1 + R6∆2 = 57.324 Ом
Ом
Rэ = R5∆16∆2∆3 + R1 = 76.556 Ом
Ток источника:
А
Вычисляем остальные токи ветвей:
А
А
А
А
А
Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рисунок 1.1), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:
I1 = -I'1 + I"1 = 0.364 A; I2 = I'2 – I"2 = 0.213 A;
I3 = I"3 – I'3 = 0.147 A; I4 = I'4 + I"4 = 0.359 A;
I5 = I'5 + I"5 = 0.217 A; I6 = I"6 – I'6 = 0.005 A.
1.1.4 Анализ результатов расчета с помощью баланса мощности
Источники E1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:
E1∙I1 + E2∙I2 = I12∙(R1 + r01) + I22∙(R2 + r02) + I32∙R3 + I42∙R4 + I52∙R5 + I62∙R6
Подставляем числовые значения и вычисляем
30∙0.363 + 20∙0.212 = 0.3632∙46 + 0.2122∙54 +0.1462∙32 +0.3582∙24 +
+0.2172∙61 +0.0052∙15
10.896 + 4.245 = 6.068 + 2.432 + 0.686 + 3.087 + 2.867 + 0.0003
15.141 Вт = 15.140 Вт
С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.
1.1.5 Сравнение результатов расчета методами контурных токов и наложения.
Результаты расчета методами контурных токов и наложения сведены в таблицу 1.1.
Таблица 1.1
Ток в ветви Метод расчета |
I1, A |
I2, A |
I3, A |
I4, A |
I5, A |
I6, A |
метод контурных токов |
0.363 |
0.212 |
0.146 |
0.358 |
0.217 |
0.005 |
метод наложения |
0.364 |
0.213 |
0.147 |
0.359 |
0.217 |
0.005 |
Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.
1.1.6 Применение метода эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.
Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с сопротивлением R2, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя R2 служит источником электрической энергии, т.е. генератором). Получается схема замещения (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 − Схема замещения
На схеме искомый ток I2 определим по закону Ома для замкнутой цепи:
где Еэ – ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода, Eэ = Uхх; rэ – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина
рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.
Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рисунок 1.5), т. е. при отключенном потребителе R2 от зажимов «a» и «б».
В этой схеме есть 2 контура, в которых текут токи режима холостого хода. Для нахождения токов Ik1x и Ik2x воспользуемся методом контурных токов. Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа:
I
k1x∙(R1
+ r01
+ R3+
R4)
– Ik2x∙(R1
+ r01)
= E1
-Ik1x∙(R1 + r01) + Ik2x∙(R1 + r01 + R5 + R6) = -E1
Рисунок 1.5 − Схема эквивалентного генератора
в режиме холостого хода
П одставляем численные значения параметров в систему:
102∙Ik1x - 46∙Ik2x = 30
-46∙Ik1x + 122∙Ik3x = -30
Решая данную систему, получаем: Ik1x = 0.221 A, Ik2x = -0.163 A.
Зная Ik1x и Ik2x, величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить Uxx как разность потенциалов между клеммами «а» и «б». Для этого потенциал точки «б» будем считать известным и вычислим потенциал точки «а».
φа = φб + E2 – Ik1x∙R4 – Ik2x∙R6,
тогда
UXX = φa – φб = E2 – Ik1x∙R4 – Ik2x∙R6 = 20–0.221∙24–(-0.163)∙15 = = 17.142 В.
ЕЭ = UXX = 17.142 В.
Для расчета внутреннего сопротивл ения эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный (рисунок 1.6), при этом ЭДС Е1 и Е2 из схемы исключается, а внутренние сопротивления этих источников r01 и r02 в схеме остаются.
Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы (рисунок 1.6) относительно зажимов «а» и «б».
Рисунок 1.6 − Схема пассивного двухполюсника
R101 = R1 + r01 = 45 + 1 = 46 Ом
В заданной электрической цепи сопротивления R101, R3 и R5 соединены в звезду, которую для упрощения преобразуем в треугольник.
Определяем сопротивления ребер треугольника:
Ом
Ом
Ом
Получаем преобразованную схему с тремя узлами (рисунок 1.7).
Рисунок 1.7 − Схема пассивного двухполюсника
с тремя узлами
Далее определяем эквивалентное сопротивление цепи:
Ом
Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви:
А
Ток в этой ветви получился практически таким же, как и в пунктах 2 и 3.