1. Предел п-ти. Ариф-ие св-ва пределов.

О1. числ.посл-ю наз-ся всякое отобр-ие f:N→R. При этом для краткости пишут: f(n)= a_n, и наз-ют n-ым членом п-ти, а сама п-ть изобр-ся (а_n)

О 2. Число а наз. пределом числовой п-ти (a_n), если  можно указать такой номер : n≥n₀ Іa_n-aІ<ε. При этом пишут

И говор-т, что а_n сх-ся к а

Символ-ая запись опр.:

П) предел п-ти равен 1.

Т1. Если послед-ть имеет предел, то он ед-ый.

Док-во: Пусть lim a_n=a и lim b_n=b. Док-ть что a=b. Пусть ε>0 произвольно. по опр. 2. Сущ-ет n₁:n≥n₁=>|a_n-a|<ε/2, найдется n₂:n≥n₂=>|a_n-b|<ε/2. Обоз-м n₀=max(n₁;n₂), тогда n≥n₀. Будем выполнять оба неравенства. Оценим при таких номерах |a-b|=|(a-a_n)+(a_n-b)|≤|a_n-a|+|a_n-b|<ε/2+ε/2=ε. Получим, что любая ε>0:0≤|a-b|<ε (ввиду произв.малости числа ε>0, это возм-о т.и.тт когда|a-b|=0 => a=b

Т2.Если Limx_n=x, limy_n=y, то lim(x_n±y_n)=x±y

Д-во. Пусть ε>0 произв.По О2.найд-ся n₁: n≥n₁=>|x_n-x|<ε/2. Сущ. n₂: n≥n₂=>|y_n-y|<ε/2. Обоз-ь n₀=max(n₁,n₂)/

Пусть n≥n₀=>|(x_n±y_n)-( x±y)|=|(x_n-x) ± (y_n-y)|≤|x_n-x|+|y_n-y|< ε/2+ ε/2= ε.чтд

О3. П-ть (а_n) Беск.мал.п-тью(бмп), если для люб.ε>0 сущ. n₀: n≥n₀=>|a_n|<ε.

Из сопоставления О2 и О3 видим, что БМП сх-ся к 0 (Limа_n=0).

Из Т2=> БМП±БМП=БМП,

Сопост-ие О2 и О3 показ-т, что Limа_n=a(α_n)=(a_n-a)-БМП. Получ-м след. Представление сх-ся п-ти lima_n=aa_n=a+α_n, где (α_n)-БМП.

О4.П-ть (а_n) наз-ся огр-ой, если сущ-ет M>0, то |a_n|≤M Для люб.n

Т3. Кажд. сходящ-ся п-ть (в част-ти БМП) ограничена.

Т4. Произв-ие БМП на огр-ую п-ть есть БМП.

Сл. Произв-ие 2-х БМП и произв-ие БМП на число есть БМП.

Т5. Предел произв-ия 2-х сходящ-ся п-тей равен произв-ию их пределов. Симв.запись: Lima_n=a, Limb_n=b=>Lima_n·b_n=ab

Д-во: Из условия Т получ-м: a_n=a+α_n, b_n=b+β_n, где (α_n)и(β_n)-две БМП. a_n·b_n=ab+aβ_n+bα_n+ α_nβ_n=ab+γ_nТ.к. aβ_n-БМП, bα_n-БМП. αnβn-БМП, то γ_n= aβ_n+bα_n+ α_nβ_n-БМП.чтд.

Лемма: Если Limb_n=b≠0, то (1/ b_n)-огр-ая п-ть.

Т.6. Предел частного 2-х сходящ-ся п-тей равен частному 2-х пределов при условии, что предел знаменателя не равен 0. Симв.зап: Lima_n=a, Limb_n=b=>Lim(a_n/b_n)=a/b

Д-во: a_n=a+α_n, b_n=b+β_n, где (α_n)и(β_n)-две БМП. a_n/b_n-a/b=(1/b_n∙1/b)∙(a_nb-ab_n)=1/b_n∙1/b(ab+α_nb-ab-ab_n)= ↕Т.к. (ab+α_nb-ab-ab_n)-БМП, 1/b – число, 1/b_n-огр-но по лемме↕=(γ_n)-БМП.

a_n/b_n=a/b+γ_n где (γ_n)-БМП. чтд.

2. Сущ-е верxней грани огр. сверху мн-ва. Т. о пределе монотонной послед-ти.

Из всей теории вещ.числа примем в кач-ве аксиомы Принцип Разделяющей Точки: Пусть А и В – не пустые числовые мн-ва, причем для всех и всех выполняется неравенство а≤b. Тогда существует хотя бы одна точка, разделяющая мн-ва А и В, ктр. облад-ет след. св-вом: (1)

О.1. Пусть А – числ.мн-во. Число М наз-ся мажорантой(минорантой) мн-ва А, если для любого а из А вып-но а≤М (а≥М). Мн-во А, имеющее хотя бы одну мажоранту (миноранту) наз-ся огр-м сверху (огр-м снизу).

О.2 Если сущ-ет наим.из мажорант (наиб.из минорант) мн-ва А, то она на-зся супремум SupA(инфимум InfA).

П) для мн-ва А=(0.1) верхней границей будет любое действительное число М, М≥1, т.е. верхних границ много. Это так не т/о в этом примере. У ограниченного мн-ва имеется бесконечное мн-во верхних границ. А мн-во N не огр-но сверху.

Т.1. Непустое, огр-е сверху числ.мн-во А имеет супремум.

Док-во:Пусть В – мн-во всех мажорант мн-ва А. B={b:b-мажорА}

Мн-во В не пусто, т.к.по усл.А – огр.сверху.По опр-ию мажоранты

Вып-но а≤b .

По принципу разд. Точки Найдется такое с:а≤с≤b Для люб.аЄА и bЄВ

Покажем, что с=supA. Поскольку а≤с для люб.аЄА=> с – мажор. С др.стороны с≤b для люб.bЄВ.=>c-наим.мажор. Это и значит, что с=supA.чтд.

Т.о. в Т.1 утверждается сущест-ие верней грани у любого огр. сверху непустого мн-ва.

П) Sup(0,2)=2

Теор-ы о гранях применяются в док-ве важной Т. Вейерштрасса о сущ-ии предела у монотонной огранич-ой послед-ти чисел. Изложим эту часть материала т\о для случая возрастающей послед-ти.

О.3. Послед-ть (a_n) наз. Возрастающей, если .

О.4. Послед-ть (a_n) наз. Ограниченной сверху, если сущ-ет число М:

Т.2.Вейерштрасса Каждая возрастающая ограниченная сверху послед-ть (x_n) имеет предел.

(x_n) , (x_n) ↑ ,сущ-ет М:x_n≤M для люб.n

Док-ть: (x_n) – сх-ся

Док-во:

В силу ограниченности сверху послед-ти (x_n) огр-но сверху мн-во ее членов (x_n).Тогда по Т. о гранях сущ-ет супремум пол-ся мн-ва: x=Sup(x_n).

Пусть ε>0-произвольно. Sup-это наим.из мажорант, поэтому число x- ε уже не будет мажорантой для (x_n). Поэтому сущ-ет x_n0> x- ε, т.к. посл-ть по усл.возр-ет, то при n≥n₀=>x_n> x- ε.

Итак имеем, как только n≥n₀ => x- ε < x_n ≤x. Но тогда непременно б-т вып-ся n≥n₀ => x- ε < x_n < x-+ε или по св-ву модуля . Т.о. x=limxn. Чтд.

Док-во Т. О сущ-ии предела в случае убывающей послед-ти (невозрастающих, неубывающих) послед-тей, ограниченных снизу (соответственно, снизу и сверху) аналогич.

П) a_n=(1+1/n)ⁿ не убывающая ее предел по опр. при n→∞ равен 1.