- •13. Изучение свойств функций в старшей школе.
- •14.Изучение тригонометрических функций в средней шк.
- •15.Виды тригономет-рических уравнений в школьном курсе мат-ки и методы их решения.
- •16. Изучение производ-ной функции в средней школе.
- •6.Точки экстремума
- •17. Изучение первообразной и интеграла в средней школе.
14.Изучение тригонометрических функций в средней шк.
Учащиеся переходят к новому классу функций, которые играют важную роль в изучении мат-ки, они применяются в теории чисел на практике.
Цели: 1)Сформировать понятие тригонометри-ческой ф-ции числового аргумента; 2)Сформировать знание о св-вах тригонометрических функций и умение иссле-довать тригоном-е функ-и; 3)научить строить графики тригоном-х функ-й;
4)формировать мировоз-зрение учащихся с пом-ю сведений из истории мат-ки.
2)Содержание: понятие тригоном-х функ-й число-вого аргумента на примере y = sinx, построение гр-ка ф-ции y = sinx, изучение свойств функ-и y = sinx, исследование и построе-ние графиков более слож-ных функций.
3 )Пропедевтика. Впервые встречается на уроках геометрии в 8 классе, когда рассматри-вается прямоугольный треугольник(рассматриваются триг-е функ-и углового аргумента)
(косинус угла зависит от величины угла , а не от размеров треуг-ка).
4)Введение тригоном-й функции числового аргумента:
Рассмотрим возможные введения понятия триг-ой ф-ции числ-го аргумента:
(Прежде всего необх-мо повторить понятие единичной окр-ти)
1)Делается переход от измерения углов в градусной мере к радианной. Радианную меру считают числом (Колмогоров). Опред: Числовая функция, заданная формулой y = sin(x) наз. синусом.
Мордкович: Вводится понятие «числовая окружность»
Опред: синусом числа в единичной окружности наз. ордината точки единичной окружности, изображающей угол в радиан. Т.О. угол можно обозначить числом, равным длине дуги единичной окружности от начала точки о.
2)Далее строится график функции y = sin(x).
Фрагмент урока:
Начертим систему коорд-т, на оси (Ох) отмечаем единичный отрезок равный 3 клетки. Отмечаем число ( 3 клетки). Затем откладываем точку
Наносим на координатную плоскость.
Д авайте вспомним определение синуса числа.
Опред: Синусом числа называется ордината точки .
Построим тригонометри-ческий круг(радиусом 3кл.) и систему координат следующим образом:
Для построения точки графика функции с абсциссой /3 восполь-зуемся опр-ем ф-ции: на круге через отмеченную точку /3 проведем пря-мую, параллельную оси абсцисс. Точка пересече-ния этой прямой с х= /3-искомаяточка. И так далее.
5)Все тригонометрические функции обладают св-вом периодичности.
Опред: Функцию f наз. периодической с периодом 2 - наименьший положи-тельный период для y = sin(x), y=cos(x), - наименьший положитель-ный период для y=tg(x), y=ctg(x).
Если функция f перио-дическая и имеет период Т, то функция Af(kx+b), где A,k,b- постоянные и , также периодическая и ее период равен .
Исследование тригоно-метрической функции на примере:
1.D(f)=R; E(f)=[-1,5;1,5];
2.Период ;
3.Функция общего вида. 4.Нули функции:
6.Точки пересечения с (Ох): ;
с (Оу):
График:
15.Виды тригономет-рических уравнений в школьном курсе мат-ки и методы их решения.
Основное внимание решения тригонометричес-ких уравнений сосредото-чено в 10 классе.
Виды:
1)Простейшие тригоном-е уравнения и сводящиеся к ним:
а) Частный случай sin(x)=0, sin(x)=1
sin(f(x))=sin(g(x))(условие равенства двух тригоно-метрических функций)Если перенести влево и применить формулу разности синусов, то получим .
Пример:
б) метод подстановки (метод замены переменной)
5cos2(x)-6cosx+1=0
cos(x)=y: 5y2-6y+1=0
в) разложение на множители.
2)Однородные уравнения а)1-ой степени: asin(x)+bcos(x)=0,б) 2-ой степени:asin2(x)+bsin(x)cos(x)+ cos2(x)=0.
Метод решения: 1-ой степени: деление на
проверяем не потеряны ли корни.
Пример:
2-ой степени: делим на , т.к. в противном случае , что невозможно.
3)Уравнения, решаемые разложением на множители:
sin(2x)-sin(x)=0
2sin(x)cos(x)-sin(x)=0
sin(x)(2cos(x)-1)=0
4)Уравнения вида:asin(x)+bcos(x)=c
Существует три метода: 1.метод введения вспомогательного угла;
2.метод универсальной подстановки;
3.метод сведения к однородному.1. Введем вспомогательный угол: Уравнение: cos(x)cos(5x)=1
Метод решения: использо-вание свойств входящих функций:
Методы: использование формул преобразования суммы триг-их функций в произведение двойного или половинного угла, графический способ решения.