13. Изучение свойств функций в старшей школе.

Свойства функций изучаются в теме «Функции и графики»

1)Цели темы: 1.Систематизировать знания учащихся, относя-щиеся к общефункцио-нальным понятиям;

2.Сформировать умение исследовать функцию по графику и аналитически (без использования произ-водной – элементарный метод);

3.Научить строить  графи-ки функций с помощью метода преобразований.

2)Содержание темы: В содержание темы включа-ются изучение следующих понятий: понятие функции, способы задания функции, область определения, об-ласть значения, график функции; способы иссле-дования графика функции: графический, аналитичес-кий (способ, который опии-рается на применение: тождественных преобразо-ваний, уравнений, нера-венств).

3)Рассмотрим свойство четности (нечетности).

Фрагмент урока:

Цель: систематизировать понятие «четные» и «не-четные» функции, сформи-ровать понятие «симмет-ричное числовое множест-во»

Тема сегодняшнего урока …

Опред: Числовое множест-во М наз. симметричным относительно нуля, если

На доске представлены числовые множества, определите какие из них симметричные:

(да, да, нет).

В тетради можно запол-нить таблицу:

Система упражнений:

1.Доказать, то функция нечетная,

2.Выяснить является ли функция четной (нечет-ной), -не симметричное мн-во, следовательно, функция общего вида.

3.Упражнения на графиках: а) среди графиков найти графики четных и нечет-ных функций; б) Задана часть графика четной функции, достроить гр-к.

4.Задания на исследова-ние четности(нечетности) в общем виде. Пример: f и g определены на R и являются четными, являя-ется ли четной функция h=f+g.

Свойство монотонности. Функция наз. возрастаю-щей на некотором проме-жутке, если большему зна-чению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение ф-ции.

Пример: , возрастает на .

4)Существует несколько способов исследования функций: 1)графический, 2)аналитический, 3) с использованием производной. 1)Графический способ исследования - это чтение графика функции. Недос-таток: исследование не всегда бывает точным.

Цель: Учащиеся должны научиться правильно запи-сывать св-ва функции по графику.

Схема исследования (по Башмакову):

1. Спроектируем точки гр-ка на ось Ох (D_f)

2. Нули ф-ции.

3. Корни f разбивают D_f на промежутки, где ф-ция сохраняет знак

4. Точки экстремума

5. Нб и нм значения

6. Монотонность

7. E(f)

Пример:

1.

2. функция общего вида;

3. не периодическая; 4.нули функции- точки пересечения графика ф-ции с осью (Ox);

5.точки пересечения с осями координат;

6.x₁,x₂,x₃- точки экстрему-мов; ( )

7.Экстремумы функции ( ); 8.возрастание, убывание; 9. промежутки знакопос-тоянства;

10.наибольшее (наимень.) значение функции.

5)Аналитический способ исследования опирается на использование в иссле-довании уравнений и нера-венств. Пример: у=5-2х

1.

2.Четность (по определе-нию):

у(-х)=5-2(-х)=5+2х≠ -у(х)-ни четная

≠у(х)-ни нечетная

3. Чтобы найти нули ф-ции надо решить ур-ние f(x)=0.

Нули ф-ции: 5-2х=0, х=2,5

4.Ох: (2,5;0), Оу: х=0,у=5.

5.Промежутки знакопосто-янства: f(x)<0,f(x)>0.

у>0 при

5-2х>0, х<2,5

у<0 при

6.Докажем, что ф-ция убы-вающая. Точек экстремума, наиб. и наим. значений нет.

Аналитически без исполь-зования производной ис-следуются несложные ф-ции: линейные, квадратич-ные.

Комбинированный способ исследования (часть св-в- анналитически, часть - гра-фически). Напр-р, при исследовании тригонометрических ф-ций.