2.2. Исчисление высказываний

2.2.1. Предложения и высказывания

Обычно в лингвистике выделяют повествовательные, повелительные и вопросительные предложения. Рассмотрим предложения, в которых формулируется некоторая информация о предметах, явлениях, событиях, положениях дел и т.д. Такие предложения будем называть высказываниями. Высказывание - это предложение, в котором содержится какая-то информация и которое может быть оценено как истинное или ложное.

Под сложными высказываниями будем понимать такие высказывания, которые образуются из других высказываний с помощью союзов “и”, “или”, “если ..., то ...” и др.

Исчисление высказываний служит для представления высказываний на формальном языке. При этом отдельные высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, союзы заменяются логическими связками. При этом действуем по правилам:

Сложное утверждение «A и B» представляем как A & B,

«А или В» - A  B,

«Если А, то В» (вариант «А только если В») A→ B,

« А в том, и только том случае, когда В» A~B,

«Неверно А» («Не А») ¬А .

Такая формализация необходима для того, чтобы установить является ли высказывание истинным или ложным, используя формальные методы, которые могут быть реализованы в компьютере.

Пример 2.2. Представить в исчислении высказываний следующее утверждение: “Если верно, что когда идет дождь, то дорога мокрая, то справедливо также и следующее утверждение: если дорога сухая, то дождя нет”.

Введем следующие обозначения:

А - идет дождь;

В - дорога мокрая.

Тогда утверждение представляется следующей логической формулой:

(АВ)(ВА).

Задачи

Представить в исчислении высказываний следующие утверждения.

1. Если будет идти снег, машину трудно будет вести.

2. Если Петя принадлежит к нашей компании, то он храбр и на него можно положиться.

3. Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только если нет дождя.

4. Если ветра нет, то дождь будет только если погода пасмурная.

5. Если погода пасмурная и дует ветер, то дождя нет. Но дождь идет. Значит, нет ветра.

6. Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда, когда нет ветра.

7. Если погода солнечная, то для того, чтобы пошел дождь, должен подняться ветер.

8. Будет ветреная погода или будет туман и пойдет дождь.

9. Дождь идет только тогда, когда погода пасмурная и безветренная. Но дождя нет. Значит, погода либо солнечная, либо пасмурная и ветреная.

10. Погода солнечная и безветренная. Значит, дождя не будет, если не поднимется ветер.

11. Пойдет дождь или поднимется ветер. Значит, погода будет либо солнечная, либо пасмурная и ветреная.

12. Если пойдет дождь, Ваня, Петя и Коля останутся дома.

13. Коля решит задачу, если он вспомнит нужную теорему.

14. Хотя бы один из студентов (Ваня, Петя и Коля) ошибается.

15. Ни один из студентов (Ваня, Петя и Коля) не опоздал на семинар.

16. В кино пойдет либо Коля, либо Петя.

17. Если семинар будет интересным, никто из студентов (Ваня, Петя и Коля) на семинаре не будет читать детектив.

18. Погода будет солнечная, но хотя бы один из студентов (Ваня, Петя и Коля) не пойдет в лес.

19. Погода будет пасмурная и Ваня пойдет в лес тогда и только тогда, когда в лес пойдет Коля.

20. Петя будет купаться только при солнечной погоде, если будет жарко.