§ 3.5. Возмущающая сила

Пусть имеются три небесных тела: Солнце С с массой М, планета P₁ с массой m₁ на расстоянии r₁ от центра Солнца и планета Р₂ с массой т₂ на расстоянии r₂ от центра Солнца и на расстоянии r от планеты Р₁ (рис. 3.2). Все три тела действуют друг на друга по закону всемирного тяготения Ньютона.

Солнце получает ускорение по направлению ср1 от планеты p1 и ускорение по направлению ср2 от планеты р2 . Здесь g есть гравитационная постоянная.

Рассмотрим движение планеты P₁ относительно Солнца. В этом случае на планету P₁ будут действовать силы, вызывающие следующие ускорения:

по направлению P₁C, по направлению Р₁Р₂ , и по направлению, параллельному Р₂С .

Рис. 3.2. Возмущающая сила.

Первое ускорение w есть ускорение относительного движения, вызванное притяжением Солнца; оно обусловливает движение планеты P₁ вокруг Солнца по законам Кеплера.

Ускорения w' и w" составляют ускорение возмущающей силы и обусловливают отклонения в движении планеты P₁ от законов Кеплера. Возмущающая сила, следовательно, состоит из двух сил: из силы действия планеты P₂ на планету P₁ и из силы действия планеты Р₂ на Солнце. Так как ускорение w" откладывается в сторону, противоположную w₂, то возмущающая сила есть геометрическая разность действий возмущающего тела на планету и на Солнце. Как видно из рис. 3.2, возмущающая сила (возмущающее ускорение) в общем случае не направлена к возмущающему телу, т.е. к планете Р₂ . Возмущающая сила будет направлена точно к возмущающему телу Р₂ только в том случае, если тела P₁ и P₂ находятся на одной прямой с Солнцем и притом оба по одну сторону от него (в порядке CP₁P₂ или CP₂P₁ ). Если же тела P₁ и Р₂ находятся на одной прямой (P₁CP₂ ) с Солнцем, но по разные стороны от него, то возмущающая сила направлена от возмущающего тела. Величина и направление возмущающей силы вследствие движения тел непрерывно меняются.

§ 3.6. Определение массы тел Солнечной системы

 

Закон всемирного тяготения Ньютона позволяет измерить одну из важнейших физических характеристик небесного тела — его массу.

Массу небесного тела можно определить: а) из измерений силы тяжести на поверхности данного тела (гравиметрический способ); б) по третьему обобщенному закону Кеплера; в) из анализа наблюдаемых возмущений, производимых небесным телом в движениях других небесных тел.

Первый способ постоянно используется на Земле и несколько раз применялся на Луне. Он заключается в следующем.

На основании закона тяготения ускорение силы тяжести на поверхности Земли _, где т— масса Земли, a R — ее радиус. Отсюда масса Земли

.

(3.15)

Ускорение силы тяжести g (точнее, ускорение составляющей силы тяжести, обусловленной только силой притяжения), так же как и радиус Земли R , определяется из непосредственных измерений на поверхности Земли. Постоянная тяготения G достаточно точно определена из опытов Кавендиша и Йолли, хорошо известных в физике.

С принятыми в настоящее время значениями величин g, R и G по формуле (3.15) получается масса Земли _.

Зная массу Земли и ее объем, легко найти среднюю плотность Земли. Она равна 5,5 г/см³.

Третий обобщенный закон Кеплера позволяет определить соотношение между массой Солнца и массой планеты, если у последней имеется хотя бы один спутник и известны его расстояние от планеты и период обращения вокруг нее.

Действительно, движение спутника вокруг планеты подчиняется тем же законам, что и движение планеты вокруг Солнца и, следовательно, уравнение (3.13) может быть записано в этом случае так:

_, где — М, т и m_c — массы Солнца, планеты и ее спутника, Т и t_c — периоды обращений планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты, a и а_с — средние расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты соответственно.

Разделив числитель и знаменатель левой части дроби этого уравнения па т и решив его относительно масс, получим:

.

(3.16)

Отношение для всех планет очень велико; отношение же , наоборот, мало (кроме Земли и ее спутника Луны) и им можно пренебречь. Тогда в уравнении (3.16) останется только одно неизвестное отношение , которое легко из него определяется. Например, для Юпитера определенное таким способом обратное отношение равно 1 : 1050.

Так как масса Луны, единственного спутника Земли, сравнительно с земной массой достаточно большая, то отношением в уравнении (3.16) пренебрегать нельзя. Поэтому для сравнения массы Солнца с массой Земли необходимо предварительно определить массу Луны. Точное определение массы Луны является довольно трудной задачей. Наиболее точное значение отношения масс Луны и Земли получено по возмущениям в движениях искусственных спутников Земли и параметрам обращения искусственных спутников Луны, оно равно .

С известным отношением масс Луны и Земли из уравнения (3.16) получается, что масса Солнца M_ в 333 000 раз больше массы Земли, т.е. M_= 210³⁰ кг.

Зная массу Солнца и отношение этой массы к массе любой другой планеты, имеющей спутника, легко определить массу этой планеты.

Массы планет, не имеющих спутников (Меркурий, Венера), в прошлом определялись из анализа тех возмущений, которые они производят в движении других планет или комет. В настоящее время для этой цели используют космические аппараты, например, типа «Венера».