§ 5.14. Равновесие звезды. Уравнение гидродинамического равновесия. Оценка параметров в недрах звезд

Любая нормальная звезда находится в равновесии, т.е. ее физические параметры: радиус, масса, светимость — почти не изменяются. Чтобы звезда находилась в равновесии необходимо соблюдение двух условий:

1. Количество энергии, которая образуется в недрах звезды в единицу времени, должно равняться той энергии, которую излучает звезда за единицу времени.

2. В каждой точке звезды сила тяготения, стремящаяся сжать звезду, должна равняться силе давления, которая стремится взорвать ее.

Последнее условие называется условием гидродинамического равновесия.

Рассмотрим внутри звезды радиуса R слой вещества, располагающийся между шарами радиусов r и r+dr (рис. 5.13). Газовое давление у поверхности указанных шаров обозначим P и P+dP, где dP 0. Имеем: , где g  ускорение свободного падения,   плотность вещества;

, где G  гравитационная постоянная, M_r  масса шара радиуса r. Учитывая эти равенства, получим:

.			(5.34)
В соотношении (5.34)		, где Vr  объем шара радиуса r.

Формула (5.34) называется уравнением гидродинамического равновесия.

Рисунок 5.13. К выводу уравнения гидродинамического равновесия.

Анализируя полученное выражение, видим, что в уравнение (5.34) входит две неизвестных P и , поэтому для получения однозначного решения необходимо еще одно уравнение, например, зависимость плотности от давления.

Если эта зависимость задана, то уравнение гидродинамического равновесия можно проинтегрировать и получить давление и плотность как функции r. Чтобы узнать температуру в каждой точке звезды, необходимо задать уравнение состояния, например, уравнение состояния идеального газа.

Не решая точно уравнение гидродинамического равновесия, можно без особого труда оценить физические параметры внутри звезды.

Оценка температуры внутри звезды.

В физике известна теорема Вириала: если система находится в равновесии, то потенциальная энергия взаимодействия частиц системы по модулю равна удвоенной кинетической энергии всех частиц системы.

Пусть – потенциальная энергия звезды. Постоянная С зависит от распределения массы внутри звезды. Если масса распределена равномерно, то .

Кинетическая энергия частиц вещества звезды , где N – число частиц, k  постоянная Больцмана, T  температура внутри звезды.

Воспользуемся теоремой Вириала. Тогда , где ,  масса атома водорода (считаем, что звезда состоит только из водорода). Тогда, выразив из равенства T, получим:

.

(5.35)

Если принять в качестве , то получим для звезды с массой и радиусом, равными массе и радиусу Солнца. Более точные расчеты с применением уравнения гидродинамического равновесия приводят к результату, что температура в центре Солнца равна 14·10⁶ К.

Оценка давления внутри звезды.

Воспользуемся уравнением гидродинамического равновесия: . Среднее отношение: , где Р_ц – давление в центре звезды. Заменим M_r массой звезды М, тогда при стремлении r к R,  стремится к . Выполнив теперь преобразования, получим, что

.

(5.36)

Если в соотношение (5.36) подставить параметры Солнца, то P_ц10⁹ атм. Более точные

подсчеты приведут примерно к 10¹⁰ атм.

Рассчитаем плотность вещества вблизи центра звезды. Будем считать, что вблизи центра звезды вещество подчиняется уравнениям состояния идеального газа.

Запишем тогда уравнение Менделеева-Клапейрона: , где M_H  молярная масса водорода, R_у  универсальная газовая постоянная. Отсюда

.

(5.37)

Если подставить в (5.37) параметры Солнца вблизи центра, то получим плотность: _ц=10² г/см³.