6. Коммутация и собственные функции

Следующие две теоремы связывают системы собственных функций двух операторов с коммутационными отношениями между ними.

Теорема 4. Если операторы A и B имеют общую систему собственных функций, то они коммутируют.

Дано:

1. ;

2.

Требуется доказать: [A,B] = 0

Подействуем на (1) оператором В:

[A,B] _n = (AB – BA) _n = AB_n – BA_n = Ab_n_n – Ba_n_n = b_nA_n – a_nB_n = b_na_n_n – a_nb_n_n = 0

Теорема 5. Если операторы A и B коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Мы докажем эту теорему только для невырожденного случая, хотя можно показать (пощадим маленьких!), что она справедлива и при наличии вырождения.

Дано:

1. ;

2. [A,B] = 0

Требуется доказать: , т.е. функции _n, собственные для А, будут собственными и для В.

Подействуем на (1) оператором В.

BA_n = Ba_n_n = a_nB_n .

Поскольку [A,B] = 0, AB – BA = 0 и AB = BA.

АB_n = BA_n =Ba_n_n = a_nB_n.. Еще раз:

А(B_n) = a_n(B_n)

Что видим? Функция _n = B_n является собственной функцией оператора А, соответствующей собственному значению a_n. Но тогда (в невырожденном случае) это должна быть либо _n, либо отличаться от нее на постоянный множитель (помните?) b_n, т.е. .

И напоследок

Теорема 6. Система собственных функций операторного уравнения полна.

Мы не станем доказывать эту теорему, но рассмотрим важные следствия из нее.

Если есть полный набор ортогональных функций ₁, ₂, ₃ … _N, то любая произвольная функция , определяемая в той же области переменных и имеющая те же граничные условия, что и собственные функции _i, может быть представлена в виде .

Полнота системы функций, по которым проводится разложение, означает, что в бесконечном пределе разложение может быть выполнено точно. Если же система базисных функций неполна, или мы ограничиваемся конечным рядом, мы будем иметь дело с приближенным разложением.

Ортогональность функций, по которым проводится разложение, вообще говоря, необязательна, но с нею жить гораздо легче. Почему?

Рассмотрим ряд

Используем знакомый прием: домножим все это слева на _k* и проинтегрируем:

поскольку набор ортогонален, все интегралы, кроме одного, равны нулю, и

,

а если наши функции еще и нормированы, то . Тем самым мы определили коэффициенты разложения, причем определили их однозначно. Самое интересное, что эти коэффициенты не зависят от длины разложения.

Остается рассмотреть лишь условия нормировки волновой функции, разложенной в ряд.

Пусть имеется и, соответственно, .

Обратите внимание: в этих разложениях мы используем разные индексы! Это и понятно: элемент, выбираемый из одного разложения никак не должен зависеть от выбора элемента в другом разложении.

Для нормированной функции 

.

Нам придется привыкать к таким суммам. На самом деле, нам придется перемножить «всех со всеми». При этом будут возникать интегралы вида

, большинство из которых (при разных i и j) равны нулю, а при нормированных _i интегралы . Что останется?

7. Представление, базис, представители

Итак, если есть некоторый эрмитов оператор L, то любая функция может быть разложена в ряд по его собственным функциям _i : . Полагая эти функции известными, можно утверждать, что набор коэффициентов c_i исчерпывающе представляет функцию . Говорят, что полный набор c_i – это функция  в L-представлении. Говорят, что собственные функции оператора L образуют базис этого представления.

Примеры:

1. Пусть в некотором представлении  = ₂ + 2₃. Тогда набор коэффициентов

с₁ = 0; с₂ = 1, с₃ = 2; с₄ = с₅ = с₆ = … =0

задает функцию  в этом представлении.

2. Пусть  является собственной функцией оператора L, т. е.  = _k.

Тогда в L-представлении она запишется в виде:

с₁ = с₂ = с₃ = … с_k–1 = 0; с_k+1 = с_k+2 = с_k+3 = … = 0; с_k = 1.

Можно записать компактнее: c_n = _kn