В ероятность нахождения мик- рочастицы на различных уча -

стках потенциальной ямы по определению

.

Графики функций

и

приведены на ри-

сунках. Из полученных результатов следует, что у микрочастицы нет определенной траектории движения и все ее положения в "потенциальной яме" могут повторяться с определенной степенью вероятности. Например, при = 2 микрочастица не может быть в центре и на краях ямы, где ее вероятность равна нулю, но равновероятно ее нахождение как в левой, так и в правой частях "ямы".

6) Пусть "потенциальная яма" - трехмерная, тогда

где - размеры "ямы" вдоль соответствующих осей координат ( ). В этом случае собственным значениям энергии соответствуют собственные функции , каждая из которых

.

Если "яма" кубическая, то

и каждое значение может быть получено комбинацией целых чисел, например, пусть , тогда

или или ,

причем каждой тройке чисел соответствует своя функция , т. е. одному значению ( = 6), могут быть приписаны три состояния микрочастицы с волновыми функциями . Такие состояния называются "вырожденными". Для данного примера кратность "вырождения" равна = 3.

7) Чем больше значение главного квантового числа ( ), тем ближе квантовые представления к классическим.

8) С помощью волновой функции, как было показано выше, можно предсказать с какой вероятностью микрочастица может быть обнаружена в различных точках "потенциальной ямы". Наличие вероятностного подхода делает возможным "проникновение" (тунелирование) микрочастицы под потенциальным барьером конечной толщины. Это явление называется туннельным эффектом.

10.2. Квантовый гармонический осциллятор

В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач мы не будем, как в предыдущем случае, полностью решать соответствующее дифференциальное уравнение. Его мы составим и дадим решение с последующим анализом.

В классической механике, на примере пружинного маятника (см. "Механика . . . ". Лекция 6) было получено дифференциальное уравнение классического гармонического осциллятора, колеблющегося под действием упругой или "квазиупругой" силы.

Пусть имеем квантовый линейный осциллятор, например, как в модели Томпсона: положительное ядро с зарядом (неподвижное) и колеблющийся около него электрон с зарядом . Тогда, как и в классическом случае, , а электрон колеблется (как возле положения равновесия) с собственной частотой .

Величина не зависит от времени, тогда

или

.

Решением данного уравнения будут собственные функции и соответствующие им значения , которые в данном случае имеют вид

, где = 0, 1, 2, 3, 4, . . . (главное квантовое число).

Анализ:

1) При = 0 - это минимальная энергия квантового осциллятора, которая называется нулевой энергией.

2 ) Собственные значения энергии квантового осциллятора квантованы и схема энергетических уровней приведена на рисунке. Шаг квантования равен , причем

и т. д.

3) Существование при доказано экспериментально при изучении рассеяния света в данных условиях. С позиций классической механики при движения нет и . В квантовом осцилляторе при , т. е. движение атомов в кристаллической решетке не прекращается.

4) Для квантового гармонического осциллятора переходы электрона (системы) из одного состояния в другое возможны только между соседними уровнями, т. е.  = = 1. Это - "правило отбора".

5 ) Полная энергия квантового осциллятора определена, т. е. , где - потенциальная, - кинетическая энергии, но из соотношения неопределенностей следует, что вели -

чины и - не определены. ( " Принцип допол - 

нительности "). 

6) Становится понятным предположение Планка для излучательной способности абсолютно черного тела (см. Лекция 6). Энергия излучения должна быть кратной , т. е. . Однако, кроме данного, из полученного выражения следует и другой вывод о существовании .