Цілі числа

Ці́лі чи́сла — в математиці елементи множини яка утворюється замиканням натуральних чисел відносно віднімання. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно додавання, віднімання та множення.

Множина цілих чисел складається з

• множини натуральних чисел ,

• нуля — розв'язку рівняння ,

• множини від'ємних чисел - множини розвязків усіх рівнянь виду .

Алгебраїчні властивості

• не є замкнута відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).

• є абелевою групою.

• є комутативним моноїдом.

• — єдина нескінченна циклічна група.

• є комутативним кільцем (це слідує з двох вищеперечислених властивостей).

• не є полем. Найменше поле, що включає цілі числа є множина раціональних чисел

Ознаки подільності чисел в десятковій системі

Ціле число ділиться націло на:

• 2, якщо остання цифра парна;

• 3, якщо сума цифр ділиться на 3;

• 4, якщо число з останніх двох цифр діляться на 4;

• 5, якщо остання цифра — 0 або 5;

• 6, якщо число ділиться на 3 і на 2;

• 8, якщо число з останніх трьох цифр діляться на 8;

• 9, якщо сума цифр ділиться на 9;

• 10, якщо остання цифра — 0.

2.Метод математичної індукції

Математична індукція - в ​​математиці - один з методів докази. Використовується, щоб довести істинність якогось твердження для всіх натуральних чисел. Для цього спочатку перевіряється істинність твердження з номером 1 - база індукції, а потім доводиться, що, якщо вірне твердження з номером n, то вірно і наступне твердження з номером n + 1 - крок індукції, або індукційний перехід.

Доказ по індукції наочно може бути представлено у вигляді так званого принципу доміно. Нехай яке завгодно число кісточок доміно виставлено в ряд таким чином, що кожна кісточка, падаючи, обов'язково перекидає наступну за нею кісточку (в цьому полягає індукційний перехід). Тоді, якщо ми штовхни першу кісточку (це база індукції), то всі кісточки в ряду впадуть.

Формулювання

Припустимо, що потрібно встановити справедливість нескінченної послідовності тверджень, занумеровані натуральними числами : .

Припустимо, що Встановлено, що P 1 вірно. (Це твердження називається базою індукції.) Для будь-якого n доведено, що якщо вірно P n , То вірно P n + 1 . (Це твердження називається індукційним переходом.) Тоді всі твердження нашої послідовності вірні.

Логічним підставою для цього методу докази служить так звана аксіома індукції, п'ята з аксіом Пеано, що визначають натуральні числа. Вірність методу індукції еквівалентна тому, що в будь-якій підмножині натуральних чисел існує мінімальний елемент.

Принцип повної математичної індукції

Існує також варіація, так званий принцип повної математичної індукції. Ось його сувора формулювання:

Нехай є послідовність тверджень P 1 , P 2 , P 3 , . Якщо для будь-якого натурального n з того, що істинні всі P 1 , P 2 , P 3 , , P n - 1 , Слід також істинність P n , То всі твердження в цій послідовності істинні, тобто .

У цій варіації база індукції виявляється зайвою, оскільки є тривіальним приватним випадком індукційного переходу. Дійсно, при n = 1 посилка еквівалентна P ₁ . Принцип повної математичної індукції є прямим застосуванням сильнішою трансфінітних індукції.

Принцип повної математичної індукції також еквівалентний аксіомі індукції в аксіомах Пеано.

Історія

Усвідомлення методу математичної індукції як окремого важливого методу сходить до Блезу Паскалю і Герсоніду, хоча окремі випадки застосування зустрічаються ще в античні часи у Прокла і Евкліда . Сучасна назва методу було введено де Морганом в 1838.

Приклади

Завдання. Довести, що, які б не були натуральне n і речовий q ≠ 1, виконується рівність

Доказ. Індукція по n.

База, n = 1:

Перехід: припустимо, що

тоді

,

що потрібно було довести.

Коментар: вірність твердження P _n в цьому доказі - те саме, що вірність рівності

3.Прості та складні числа

Просте число

Просте число  — це натуральне число, яке має рівно два натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа понад одиницю розбивають на прості і складені. Теорія чисел вивчає властивості простих чисел.

Послідовність простих чисел починається так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 , 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997…