Метод средних

Если в эмпирическую формулу

(7)

подставить исходные данные , то левая часть формулы, вообще говоря, не будет равна правой. Разности (невязки)

называются уклонениями и представляют собой расстояния по вертикали точек от графика эмпирической функции (7), взятые со знаком плюс (+) или со знаком минус (-).

Согласно методу средних за наилучшее положение эмпирической кривой К принимается то, для которого равна нулю алгебраическая сумма Е всех уклонений , т.е. должно иметь место равенство

(8)

Для определения по методу средних постоянных , где m < n, все уклонения разбивают на m групп, содержащих примерно одинаковые количества уклонений. Приравнивая нулю алгебраическую сумму уклонений, входящих в каждую из этих групп, получаем систему, содержащую столько уравнений, сколько имеется неизвестных коэффициентов .

Решив эту систему, найдём коэффициенты . Заметим, что поскольку сумма уклонений для каждой группы равна нулю, то равна нулю также и сумма Е всех уклонений, т.е. для нашей системы равенство (8) будет выполнено.

Метод наименьших квадратов

Пусть известен вид эмпирической формулы

(9)

и - уклонения эмпирической формулы (9) от исходных данных ( ).

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов уклонений

будет минимальной. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем так называемую нормальную систему для определения коэффициентов

(10)

Если система (10) единственное решение, то оно будет искомым.

Система (10) упрощается, если эмпирическая функция линейная относительно параметров . Действительно, полагая ?, будем иметь:

,

где

Отсюда

(11)

Введя сокращенные обозначения и , систему (5) можно записать в виде нормальной системы

(11’)

В частном случае, если эмпирическая функция представляет полином то:

и

Следовательно, нормальная система (11’) будет иметь вид

Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратов уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине. Для метода средних, где составляется алгебраическая сумма уклонений, такого вывода сделать нельзя.

Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности, когда нужно получить также весьма точные значения параметров. Заметим, что в этом случае промежуточные вычисления нужно проводить с надлежащим количеством десятичных знаков, так как в противном случае при неблагоприятных условиях искомые коэффициенты будут иметь мало верных знаков. Но грубые значения этих коэффициентов могут быть получены значительно проще, т.е. применение метода не будет оправданно. В частности, если происходит потеря цифр при вычитании, то вычисления должны быть проведены с достаточным количеством запасных верных значащих цифр. Здесь следует руководствоваться следующим правилом: если численные значения коэффициентов желательно иметь с m верными значащими цифрами и если предварительные вычисления показывают, что первые p цифр исчезнут при вычитании, то вычисления должны быть произведены с m + p + 1 верными значащими цифрами на всех стадиях работы.