- •Введение
- •1. Особенности системы mathcad
- •2. Приближенное интегрирование функций
- •3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
- •Решение дифференциальных уравнений в Mathcad
- •4. Определение параметров эмпирической формулы (регрессионный анализ)
- •Метод выбранных точек
- •Метод средних
- •Метод наименьших квадратов
- •Регрессионный анализ в Mathcad
- •Линейная регрессия
- •Параболическая регрессия
- •Многомерная параболическая регрессия
- •Линейная комбинация функций
- •Приспособление произвольных функций к данным
- •5.Решение систем линейных уравнений
- •6. Возможности программирования в mathcad
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение
- •Содержание
2. Приближенное интегрирование функций
Если функция непрерывна на [a, b] и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: где .
Однако во многих случаях первообразная функция не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной. Вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция часто задается таблично, и тогда понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают и при вычислении кратных интегралов. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы интегрирования.
Заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом, получаем квадратурные формулы вида
где - выбранные узлы интерполяции, - коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции - остаточный член, или погрешность квадратурной формулы. При отбрасывании остаточного члена R появляется погрешность усечения. В расчете отрезок интегрирования разбивается на n равных частей системой точек
(i=0, 1, …, n), , , .
Вычисляется подынтегральная функция в полученных узлах
(i=0, 1, …, n).
Квадратурные формулы для равностоящих узлов называются формулами Ньютона-Котеса. Формулы Ньютона-Котеса различаются степенями использованных интерполяционных многочленов. Чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, промежуток интегрирования обычно разбивают на отдельные участки, применяют формулы Ньютона-Котеса с невысокими степенями на каждом участке и потом складывают полученные результаты (что дает так называемые составные формулы). Наиболее простые из формул такого типа приведены ниже.
Формула трапеций (рис. 1):
,
где (i=0, 1, …, n).
Рис.1.
Остаточный член имеет вид
Формула трапеций дает точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, тогда f''(x)=0. Блок-схема алгоритма метода трапеций приведена на рис. 2.
Рис. 2.
Формула Симпсона (формула парабол) (рис. 3):
где .
Рис. 3.
Остаточный член имеет вид
.
Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, так как в этом случае
Заметим, что в формуле Симпсона число узлов обязательно нечетное, т.к. n четное, .
Блок-схема алгоритма метода Симпсона приведена на рис. 4.
Формула Ньютона (правило трех восьмых):
где
Остаточный член имеет вид
Заметим, что в формуле Ньютона число узлов обязательно равно , т.е. .
Рис. 4.
Если функция задана таблично, а ее производные найти затруднительно, то в предположении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применять приближенные формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:
где под подразумевается арифметическое среднее значение разностей соответствующего порядка.
Система MathCad вычисляет определенные интегралы методом Ромберга. Не описывая его подробно, отметим лишь, что он является вариантом метода трапеций с делением на два интервала интегрирования с итерационным уточнением решения до достижения заданной точности (она определяется значением системной переменной TOL).
Если за заданное число итераций точность не достигнута, используется более точный метод Ромберга с открытыми концами. При нем число интервалов утраивается на каждом шаге интегрирования. Этот метод увеличивает число шагов интегрирования там, где подынтегральная функция меняется более резко (например, если она имеет разрыв).
К достоинствам метода можно отнести то, что он делает все возможное, чтобы вычислить интеграл даже сложной функции. Но для простых функций это ведет к увеличению времени вычислений. При наличии у подынтегральной функции особенностей время вычисления может резко возрастать из-за перехода от одной реализации метода Ромберга к другой. Поэтому нередко бывает оправданным применение достаточно точных формул интегрирования, например формул Ньютона-Котесса с легко предсказуемыми узлами, которые можно выбрать вдали от особых точек подынтегральной функции.
Для вычисления определенных интегралов в Mathcad нажмите & или вставьте знак интегрирования с соответствующей панели.
Функция возвращает определенный интеграл f(x) от а до b, где F – любая скалярная функция, определенная в замкнутом интервале [a, b]; x – аргумент этой скалярной функции. а и b должны быть действительными скалярными величинами, но f(х) может быть комплексной величиной. а и b должны иметь одинаковые размерности, если они есть. может быть функцией любого числа переменных.
Подобно всем численным методам, алгоритм интегрирования Mathcad может иметь трудности с неправильными подынтегральными выражениями. Если подынтегральное выражение имеет особенности, разрывы, или большую и быструю флуктуацию, решение Mathcad может быть неточно.
Чтобы вычислить двойные или кратные интегралы, нажмите & несколько раз.
В следующем примере вычисляется определенный интеграл действительной функции f(x,y) в некоторой плоской области. Вводятся границы области интегрирования, принимаются а < x < b и с(x)<y<d(x) для всех x:
Вводится подынтегральная функция, описывающая плотность треугольника:
Тогда его масса вычисляется следующим образом: