3. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений

Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка

,

заключается в отыскании функции удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям:

где - заданные числа.

Найти общее решение задачи Коши удается в редких случаях, поэтому чаще всего приходится решать задачу Коши приближенно. Приближенные методы в зависимости от формы, в которой они представляют решение, можно разделить на две группы.

1) Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2) Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.

В дальнейшем изложении предполагается, что для рассматриваемых уравнений выполнены условия существования и единственности решения.

К наиболее часто используемым численным методам решения дифференциальных уравнений относятся методы Эйлера и Рунге-Кутта, имеющие, в свою очередь, несколько модификаций.

Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции y(x).

Пусть дано дифференциальное уравнение

(1)

с начальным условием . (2)

Выбрав достаточно малый шаг h, рассмотрим систему равноотстоящих точек

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам

.

При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломаной с вершинами ; каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике удовлетворяет условиям

(3)

то имеет место следующая оценка погрешности:

где  значение точного решения уравнения при а  приближенное значение, полученное на n-м шаге.

Формула (3) имеет лишь теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения (при шаге ) оценивают приближенно так: . Блок-схема алгоритма решения дифференциального уравнения методом Эйлера приведена на рис. 5.

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему двух уравнений первого порядка

с начальными условиями

Рис. 5.

Приближенные значения и вычисляются последовательно по формулам

Существует несколько модификаций метода Эйлера.

Первый улучшенный метод Эйлера для решения задачи (1), (2) состоит в том, что сначала вычисляют промежуточные значения, а затем полагают

Второй улучшенный метод – метод Эйлера–Коши  заключается в том, что сначала определяют "грубое приближение"

затем вычисляют и приближенно полагают

Оценка погрешности в точке может быть получена с помощью двойного просчета: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения (при шаге ) оценивают приближенно так:

где - точное решение дифференциального уравнения.

Метод Эйлера-Коши решения задачи (1), (2) можно ещё более уточнить, применяя итерационную обработку каждого значения y₁ (метод Эйлера с последующей итерационной обработкой). Исходя из грубого приближения

рассмотрим итерационный процесс

Итерации продолжаем до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадут соответствующие десятичные знаки. После этого полагаем

Как правило, при достаточно малом h итерации быстро сходятся. Если после трёх–четырёх итераций не произошло совпадения нужного числа десятичных знаков, то следует уменьшить шаг расчета h.

Блок-схемы модифицированных методов Эйлера легко получить самостоятельно, по аналогии с рис. 5.

При решении методом Рунге-Кутта дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) через обозначают приближенное значение искомого решения в точке x₁ и вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам

где

Схема метода Рунге-Кутта приведена в таблице 1.

Таблица 1.

0
1

Порядок заполнения таблицы (выполнения вычислений по методу Рунге-Кутта):

1. Выбираются x и y .

2. Вычисляются . Определяются

3. Определяются

4. Вычисляются и .

5. Принимаются

6. Вычисляются

7. Определяются

8. Вычисляются и .

9. Суммируются , делим на 6 и получаем таким образом

10. Вычисляются

Затем все вычисления продолжаются в том же порядке, принимая за начальную точку .

Заметим, что шаг расчета можно менять при переходе от одной точки к другой. Для контроля правильности выбора шага h рекомендуется вычислять дробь

_.

Величина не должна превышать нескольких сотых. В противном случае шаг h следует уменьшить.

Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности на всем отрезке _. Оценка погрешности метода очень затруднительна. Грубую оценку погрешности можно получить с помощью двойного просчета по формуле

_,

где  значение точного решения уравнения в точке а  приближенные значения, полученные с шагом и .

При реализации на ЭВМ метода Рунге-Кутта на ЭВМ с автоматическим выбором шага обычно в каждой точке делают двойной просчет - сначала с шагом h, затем с шагом .Если полученные при этом значения различаются в пределах допустимой точности, то шаг для следующей точки удваивают, в противном случае берут половинный шаг.

Блок-схему решения обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге-кутта с автоматическим выбором шага можно получить самостоятельно.