3.2.2. Интегрирующие свойства резистивно-емкостной цепи

Если в дифференциальном уравнении (1) пренебречь слагаемым U_C, т. е. считать, что U_C << τ dU_C/dt, то получим

Отсюда следует, что при съеме выходного напряжения с емкости рассматриваемая цепь выполняет операцию приближенного интегрирования входного сигнала. Поэтому такая цепь называется интегрирующей (рис. 4).

Рис. 4. Резистивно-емкостная интегрирующая цепь.

Идеальной интегрирующей цепью называется электрическая цепь, для которой справедливо соотношение Следовательно, при воздействии на идеальный интегратор ступенчатой функции U_вх = E∙1(t) его выходное напряжение будет равно . Выходное напряжение идеального интегратора в этом случае является линейной функцией времени (рис. 5).

Выходное напряжение резистивно-емкостной интегрирующей цепи при воздействии ступенчатой функции напряжения описывается соотношением (3), не являющимся линейной функцией времени.

Рис.5. Выходное напряжение идеальной интегрирующей цепи при воздействии ступенчатой функции напряжения.

Для анализа ошибки интегрирования функцию U_C(t) можно разложить в степенной ряд

Ограничиваясь для простоты двумя членами разложения, получим

(5)

где – напряжение на выходе идеальной интегрирующей цепи;

– ошибка интегрирования на выходе резистивно-емкостной интегрирующей цепи.

Относительная величина ошибки интегрирования .

Очевидно, что ошибка интегрирования на выходе пассивной цепи увеличивается с течением времени и тем быстрее, чем меньше постоянная времени τ.

На рис. 6. приведены графики выходного напряжения резистивно-емкостной интегрирующей цепи для различных значений постоянной времени τ, построенные по соотношению (3).

Из этих графиков следует, что ошибка интегрирования входного сигнала в любой момент времени τ₁ тем больше, чем меньше τ. Она определяется отброшенным слагаемым уравнения (1).

Точное интегрирование сигнала в пассивной резистивно-емкостной интегрирующей цепи невозможно вследствие конечного интервала времени заряда емкости, т. е. t_зар ≠ ∞.

Рис. 6. Выходное напряжение резистивно-емкостной интегрирующей цепи при воздействии ступенчатой функции напряжения

3.2.3. Дифференцирующие свойства резистивно-емкостной цепи.

Если в дифференциальном уравнении (1), описывающем состояние электрической цепи, пренебречь слагаемым , т. е. считать, что , то получим U_C ≈ U_вх(t).

Учитывая, что ток в рассматриваемой цепи , и при принятом допущении , можно записать

.

Таким образом, и, следовательно, при съеме выходного напряжения с резистора рассматриваемая цепь выполняет операцию приближенного дифференцирования входного сигнала. Поэтому такая цепь называется дифференцирующей (рис. 7.).

Рис. 7. Резистивно-емкостная дифференцирующая цепь

Идеальной дифференцирующей цепью называется электрическая цепь, для которой справедливо соотношение , где k – постоянный коэффициент пропорциональности. Следовательно, при воздействии на идеальный дифференциатор ступенчатой функции U_вх(t) = E∙1(t) его выходное напряжение будет равно

,

где δ(t) – дельта-функция.

График выходного напряжения идеального дифференциатора в этом случае приведен на рис. 8, а.

На рис. 8, б приведены графики выходного напряжения резистивно-емкостной дифференцирующей цепи для различных значений постоянной времени τ, построенные по соотношению (4).

а)

б)

Рис. 8. Выходные напряжения идеальной и резистивно-емкостной дифференцирующих цепей

Из этих графиков следует, что ошибка дифференцирования ΔU_д входного сигнала в любой момент времени t₁ тем больше, чем больше τ. Она определяется отброшенным слагаемым уравнения (1). Точное дифференцирование сигнала в этой цепи невозможно вследствие ненулевого интервала времени заряда емкости, т. е. t_зар ≠ 0.