24

Федеральное агентство по образованию

Рыбинская государственная авиационная технологическая академия им. П. А. Соловьева

Кафедра «Вычислительные системы»

В. М. Комаров

Исследование резистивно-емкостных

электрических цепей в переходном режиме

Лабораторная работа по дисциплине

«Основы электротехники и электроники»

Рыбинск 2008

1. Введение

При изменении каких-либо параметров электрической цепи один установившийся режим ее работы заменяется другим. Переход от одного режима к другому осуществляется в течение некоторого времени, а процесс в электрической цепи, происходящий при этом, называется переходным процессом.

В одних случаях переходные процессы в электрических цепях нежелательны и опасны, в других – представляют собой нормальный режим работы. В устройствах вычислительной техники переходный режим работы электрических цепей широко используется для обеспечения заданного функционирования этих устройств.

2. Цель работы

Целью настоящей работы является изучение переходных процессов в резистивно-емкостных электрических цепях при воздействии на них прямоугольного импульса напряжения.

3. Краткие теоретические сведения

3.1. Резистивно-емкостная электрическая цепь и ее характеристики

Резистивно-емкостной цепью называется электрическая цепь, состоящая только из резисторов и конденсаторов. Резисторы характеризуются некоторым сопротивлением, а конденсаторы – емкостью. Простейшая резистивно-емкостная цепь представляет собой последовательное соединение одного сопротивления и одной емкости (рис. 1).

Рис. 1. Простейшая резистивно-емкостная электрическая цепь.

Если в момент времени t = 0 к этой цепи подключается источник напряжения U_вх(t), то на основании второго закона Кирхгофа для после коммутационной схемы можно записать

U_R(t) + U_C(t) = U_вх(t).

Учитывая, что на основании закона Ома U_R(t) = R·i(t), а ток в рассматриваемой цепи , из этого уравнения следует

.

Величина τ = RC имеет размерность времени и называется постоянной времени резистивно-емкостной цепи. Постоянная времени является основной характеристикой этой цепи.

Таким образом, процесс в рассматриваемой цепи описывается неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

.

Решение дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение описывает установившийся режим в цепи и называется принужденной составляющей решения. Решение однородного уравнения физически описывает поведение цепи при заданных начальных условиях и отсутствии внешних воздействий. Поэтому оно называется свободной составляющей решения и соответствует переходному режиму в электрической цепи.

Исходя из этого, решение уравнения (1) можно записать в виде

.

Свободная составляющая решения записывается в общем виде

,

где p – корень характеристического уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению (1);

A – постоянная интегрирования.

Характеристическое уравнение рассматриваемой цепи имеет вид

τp + 1 = 0.

Из его решения следует, что .

Таким образом, решение дифференциального уравнения (1) может быть представлено в виде

.

Постоянная интегрирования A и принужденная составляющая решения могут быть найдены, если задано входное воздействующее напряжение U_вх(t) и начальные условия.

3.2. Переходный процесс в резистивно-емкостной цепи при воздействии ступенчатой функции напряжения.

3.2.1. Переходный процесс и его расчет классическим методом.

Принужденная составляющая решения уравнения (1) отыскивается в форме его правой части. Если к электрической цепи в момент времени t = 0 подключается ступенчатая функция напряжения U_вх(t) = E (рис. 2, а), то принужденную составляющую решения необходимо искать в виде . Подставляя это значение в (1), можно получить B = E. Следовательно,

. (2)

Постоянная интегрирования A определяется из второго закона коммутации U_C(–0) = U_C(+0). Так как при t < 0 в цепи не было никаких запасов энергии, то U_C(–0) = 0. Подставляя в (2) значения t = 0 и U_C(+0) = 0, получим A = –E.

Рис. 2. Формы напряжений на элементах цепи при воздействии ступенчатой функции напряжения.

Таким образом, напряжение на элементах рассматриваемой цепи изменяется по законам

(3)

(4)

Графики функций U_C(t) и U_R(t) приведены на рис. 2,б, в, вид которых физически определяется зарядом емкости с постоянной времени τ. Из этих графиков и соотношений (3), (4) следует, что теоретически установившийся процесс наступает при t →∞.

Для анализа скорости изменения напряжений во времени представим зависимость U_C(t) / U_C(∞) таблицей.

t	τ	2τ	3τ	4τ	5τ	∞
	63,2	86,5	95,0	98,2	99,3	100

Из анализа данных этой таблицы очевидно, что переходный процесс практически полностью заканчивается через интервал времени, равный 5τ.

В технике принято считать, что переходный процесс заканчивается, если исследуемая величина достигает 95% от своего установившегося значения. Следовательно, переходный процесс считается закончившимся через интервал времени t_n = 3τ (см. рис. 2. и табл.).

Из выражения (4) очевидно, что при не нулевом начальном значении функции постоянная времени τ равна интервалу времени, в течение которого исследуемая величина изменяется в e раз.

Графически величина τ может быть определена как длина подкасательной к исследуемой кривой в точке t = 0, измеренной на линии установившихся значений. Действительно (рис. 3),

Для функции U_C(t), определяемой выражением (3), имеем

.

Рис. 3. Графическое определение постоянной времени цепи.