Раздел 3. Основы расчетов элементов конструкций

Глава 16. Напряженно-деформированное сечение детали

16.1. Метод сечений

П од внутренними силами будем подра­зумевать не их абсолютные значения, а только те приращения, которые вызваны действующими на тело нагрузками,

Для расчета, на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам.

Основу для решения этой задачи дает метод сечении.

"Розу":

Р – разрезаем тело плоскостью на две части;

О – отбрасываем одну часть;

3 – заменяем действие отброшенной части

в нутренними силами;

У – уравновешиваем оставшуюся часть и из уравнения равновесия определяем внутренние силы.

П рименяя метод сечений, переводят силы, являющиеся внутренними для тела в целом, во внешние для одной из его частей, полученной в результате мысленно проведен­ного сечения.

Р ассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил. Рассечем его на две части (1 и 2) некоторой произвольной плоскостью, перпендику­лярной его продольной оси, и отбросим од­ну из частей (например 1). Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть при­ведена к ее главному вектору и главному моменту, которые стати­чески эквивалентны заданной системе сил. Главный вектор системы – три составляющие по осям выбранной системы координат. Главный момент – три момента, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной из координатных осей.

Составляющие главного вектора и главного момента внутрен­них сил, возникающих в поперечном сечении бруса, носят название внутренних силовых факторов в этом сечении. – продольная (или нормальная)

сила; – поперечные силы; – крутящий момент; – изгибающие моменты.

Е сли – растяжение, или – срез.

Если – кручение, или – изгиб.

Д ля определения каждого из внутренних силовых факторов на­до составить соответствующее уравнение равновесия для всех сил, действующих на оставленную часть бруса (рис. 16.4).

(16.1)

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось OZ бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части.

16.2. Напряжение как мера внутренних сил

Д ля суждения об интенсивности внутренних сил в определен­ной точке данного сечения введено понятие о напряжении.

Выделим в окрестности интересующей нас точки сечения малую площадку пло­щадью ; допустим, что на этой площад­ке возникает внутренняя сила (рис. 16.5) Отношение этой внутренней силы к площади выделенной площадки называется средним напряжением в окрестности рассматриваемой точки по проведенному сечению (на площадке ):

(16.2)

Истинное напряжение в данной точке рассматриваемого сече­ния:

(16.3)

Отношение будет величиной конечной.

Напряжение в данной точке по рассматриваемому сечению есть величина векторная (вектор делим на скаляр ); направление этого вектора совпадает с предельным направлением вектора .

Единица измерения напряжения – Паскаль (Па).

Паскаль – это напряжение, при кото­ром на площадке в 1 м² возникает внут­ренняя сила, равная 1 H, но эта единица, очень мала, поэтому используется кратная ей единица – мегапаскаль, 1 МПа = 10⁶ Па.

Разложим вектор напряжения р на две составляющие: одну – направленную по нор­мали к сечению (нормальное напряжение ), вторую – лежащую в плоскости сечения (ка­сательное напряжение ) (рис. 16.6). Между напряжениями р, и су­ществует следующая очевидная зависимость:

(16.4)

В ряде случаев оказывается удобным разложить вектор р не на две, а на три составляющие, направленные параллельно коорди­натным осям. Правило индексов: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия рассматриваемого напряжения, второй индекс показывает, какой оси параллельно данное напряжение.

^. (16.5)

Установим связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса. Элементарные внутренние силы:

; ; .

Выражения составляющих главного вектора внутренних сил:

; (16.6)

; (16.7)

. (16.8)

Умножая каждую из элементарных сил на расстояние до соответствующей оси, получаем элементарные моменты внутренних сил:

; ;

Суммируя элементарные моменты по всей площади сечения, получаем выражения для составляющих главного момента внутренних сил:

; (16.9)

; (16.10)

. (16.11)

Выражения (16.6)–(16.11) не служат для вычисления внутренних силовых факторов. Они выражают физическую сущность внутренних силовых факторов.