- •Задание на расчетно-графическую работу
- •Исходные данные для исследования.
- •Выбор переменных состояния и формировка уравнений состояния в пространстве состояний.
- •Получение эквивалентной передаточной функции системы.
- •Определение фробениусовой канонической формы уравнений состояния.
- •Определение жордановой канонической формы уравнений состояния.
- •Определение устойчивости, управляемости и наблюдаемости исследуемой сау.
- •Определение устойчивости исследуемой системы.
- •Определение управляемости исследуемой системы.
- •Определение наблюдаемости исследуемой системы.
- •Получение переходной характеристики с помощью системы matlab.
- •Составление программы расчета переходной характеристики исследуемой сау.
- •Определение переходной характеристики исследуемой сау с помощью составленной программы и оценка параметров системы.
- •Получение графических изображений реакций сау при одиночных трапецеидальном, импульсном и гармоническом сигналах.
- •Получение графического изображения реакции сау при последовательностях единичного ступенчатого, импульсного и гармонического сигналов.
- •Анализ-заключение по результатам работы.
- •Список используемой литературы
- •Приложение. Листинг программы.
Получение эквивалентной передаточной функции системы.
Используем систему MatLab (Matrix Laboratory).
Для того чтобы определить передаточную функцию системы ее необходимо привести к одноконтурному виду. Для этого используются правила структурных преобразований.
Если имеется структурная схема, которую нужно преобразовать к одноконтурному виду, то основные правила таких преобразований следующие:
Если имеется цепочка из последовательно соединенных звеньев, то эквивалентная передаточная функция такой цепочки равна произведению передаточных функций, входящих в эту цепочку.
Если звенья соединены параллельно, то эквивалентная передаточная функция такой цепочки равна сумме передаточных функций, входящих в цепочку.
Если звено с передаточной функцией охвачено обратной связью с передаточной функцией , то эквивалентная передаточная функция такой связки определяется по следующей формуле:
В данной формуле знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «–» - положительной.
Система MatLab представляет собой интерактивную компьютерную систему для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированную на работу с массивами данных. Для нахождения передаточной функции системы нам понадобятся следующие команды:
»W1 2= W1*W2 – преобразование последовательного соединения звеньев;
»W1 2= W1+W2 – преобразование параллельного соединения звеньев;
» feedback – преобразование встречно-параллельного соединения звеньев.
» W1=tf([4],[0.001 1]);
» W2=tf([0.24 12],[1 0]);
» W3=tf([6],[0.005 1]);
» W4=tf([5],[0.04 1]);
» W5=tf([1],[0.006 0]);
» W6=tf([1],[65 0]);
» W7=0.3;
» W8=0.07;
» W457 = feedback(W4*W5,W7);
» W234578 = feedback(W2*W3*W457,W8);
» Wsystem = feedback(W1*W234578*W6,1)
Transfer function:
28.8 s + 1440
7.8e-008 s^6 + 9.555e-005 s^5 + 0.01843 s^4 + 1.008 s^3 + 131.9 s^2 + 1667 s + 1440
Используем систему MathCAD.
MathCAD – это специфический язык программирования, который позволяет облегчить решение математических уравнений. Для нахождения передаточной функции в системе MathCAD, необходимо воспользоваться следующим уравнением:
Рис. 3. Получение передаточной функции в системе MathCAD
Преобразуем получившееся выражение, умножив числитель и знаменатель передаточной функции на . Тогда передаточная функция системы запишется следующим образом:
Эта передаточная функция полностью совпадает с передаточной функцией, полученной в системе MatLab.
Таким образом, эквивалентная передаточная функция исследуемой системы имеет следующий вид:
Определение фробениусовой канонической формы уравнений состояния.
Любое звено динамической системы может быть описано с помощью одного дифференциального уравнения. Однако одной и той же передаточной функции может соответствовать множество структур моделей. Отсюда вытекает необходимость выбора наиболее рациональной модели при математическом описании динамических систем. На практике отдают предпочтение так называемым каноническим формам. С инженерной точки зрения канонические формы – это модели исходной системы, отличающиеся простотой математического описания и регулярной структурой. Это обеспечивается переходом от исходного описания с помощью замены переменных к такой системе координат, что большинство элементов матриц в новой системе координат становятся равными нулю или единице.
Наиболее распространенными в практике каноническими формами являются:
каноническая форма Фробениуса;
каноническая форма Жордана.
Наибольший интерес представляют канонические формы, при которых структура матриц имеет наиболее простой вид. Причем, при приведении уравнений к канонической форме простую структуру принимают две матрицы из трех:
матрицы управляемые канонические формы;
матрицы наблюдаемые канонические формы.
Основу реализации фробениусовой канонической формы составляет цепочка последовательно включенных интеграторов, охваченных обратными связями, причем, коэффициенты обратных связей совпадают с коэффициентами характеристического полинома динамической системы.
Для формирования уравнения состояния во фробениусовой канонической форме, необходима передаточная функция исследуемой системы:
Здесь
Запишем дифференциальное уравнение исследуемой системы:
Произведем следующие замены:
Пусть
;
.
Тогда из уравнения (16) следует, что
Таким образом,
Из уравнения (17) следует, что
Объединим получившиеся дифференциальные уравнения и уравнение выхода (16) в систему
Матричная запись этих уравнений имеет следующий вид:
(21)
Полученная форма уравнений состояния носит название фробениусовой канонической формы.
Построим граф, соответствующий данной канонической форме. Графы используются для наглядного изображения зависимостей в САУ. Граф – это условное графическое изображение системы уравнений. Граф представляет собой совокупность вершин (узлов) и соединяющих их ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. В данном случае вершинами графа являются переменные входной сигнал , выходной сигнал Связи между переменными изображаются в виде дуг с проставленными коэффициентами при переменных и направлениями передачи сигнала.
Рис. 4. Граф системы для фробениусовой канонической формы.