Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 407
Упростите выражение
(7 баллов)
2. Сколько точек пересечения имеют
графики функций
и
(7 баллов)
3. Найдите среднюю скорость грузовика проехавшего 180 км, если треть пути он ехал со скоростью 60 , а остальную часть – со скоростью 40 . (10 баллов)
4. Решите неравенство 
(10 баллов)
5. Решите уравнение
(10 баллов)
6. Решите уравнение
(12 баллов)
7. Решите неравенство
(12 баллов)
8. В правильную четырехугольную пирамиду
вписана последовательность сфер так,
что первая сфера касается основания и
четырех боковых граней, а каждая
последующая - предыдущей сферы и четырех
боковых граней. Отношение радиуса
четверной сферы к радиусу пятой равно
,
где Ф - положительный корень уравнения
.
Найдите отношение площади боковой
поверхности пирамиды к объему пирамиды,
если сторона основания равна 3. Ответ
представить в виде линейной функции от
Ф.
(15 баллов)
9. Определите, при каких значениях
параметра
промежуток [а; 0] содержит не менее
трех корней уравнения
.
(15 баллов)
Зам.председателя оргкомитета Олимпиады:___________________________ И.Е.Никулина
Председатель предметного жюри: _________________________ А.А.Михальчук
Федеральное агентство по образованию Совет ректоров вузов Томской области Открытая региональная межвузовская олимпиада – 2008
МАТЕМАТИКА
Билет № 408
Упростите выражение
(7 баллов)
2. Найти число точек пересечения графиков
функций
и
?
(7 баллов)
3. Караван судов длиной 30 км следует из пункта A в пункт B со скоростью 30 . Катер сопровождения отправляется от начала каравана в его конец и немедленно возвращается назад, затратив на весь путь 80 минут. Найдите скорость катера. (10 баллов)
4. Решите неравенство 
(10
баллов)
5. Решите уравнение
(10 баллов)
6. Решите уравнение
(12 баллов)
7. Решите неравенство
(12 баллов)
8. В правильной четырехугольной пирамиде
отношение апофемы к боковому ребру
равно
,
где Ф - положительный корень уравнения
.
В пирамиду вписана последовательность
сфер так, что первая сфера касается
основания и четырех боковых граней, а
каждая последующая - предыдущей сферы
и четырех боковых граней. Найдите сумму
радиусов всех вписанных сфер, если
сторона основания равна 2. Ответ
представить в виде степени с основанием
Ф. (15 баллов)
9. В зависимости от параметра а определите число корней уравнения
на отрезке
.
(15 баллов)
Зам.председателя оргкомитета Олимпиады:___________________________ И.Е.Никулина
Председатель предметного жюри: _________________________ А.А.Михальчук