5.2 Метод координації в багаторівневих нечітких системах планування
Розглянемо двохступеневу систему. Вектор , відноситься до і-го елементу, повинен влаштовувати локальним границям:
(5.53)
де – деяка множина в -мірному евклідовому просторі.
При передачі інформації на верхній рівень виконується її агрегування, тобто від елементів в центру поступає не вектор , а деякий векторний показник роботи елементів, який залежить від :
. (5.54)
Зауважимо, що число показників, як правило, набагато менше, ніж розмірність вектора , а точний вид множини і функції центру може бути невідомим.
В центрі виконується подальше агрегування інформації, і на основі поступаючи від елементів показників формується векторний критерій центру H:
(5.55)
де .
Модель центру може бути задана різними способами, але в будь якому випадку будемо представляти, що існує оптимальний вектор і відповідний до нього вектор , причому виконується наступна умова: ні для жодного і не існує такої точки , що
(5.56)
де хоча б одна нерівність виконується строго.
Смисл цієї умови полягає в тому, що елементи не можуть збільшити значення якого-небудь показника по зрівнюванню з оптимальними, с точки зору центра, значенням без зменшенням хоча б одного із інших показників.
Приклад 5.1. Розглянемо систему оптимального планування підприємства, причому елементами рівня цієї системи є технологічні процеси з діючими на них автоматизованими системами управління, а центром – плануючий орган підприємства. В моделі елементів, які можуть мати дуже складну структуру і велику розмірність, входять технологічні керуючі впливи, наприклад температура, тиск і т.д. Центр ж інтересує загальні показники, в частці випуск продукції і технологічні витрати. Ясно, що при будь-якому розумному критерії центра оптимальним режимом технологічних процесів може бути тільки такий режим, по зрівнянню з яким неможна одночасно збільшити випуск продукції і знизити витрати (в критерії витрати входять з протилежним знаком).
Із (5.50) випливає, що оптимальний вектор належить множині Парето чи множині ефективних точок наступної задачі векторної оптимізації:
(5.57)
Відомо, що будь-яку точку із множини Парето, в тому числі і точку , можна виділити, якщо зробити повірку векторного критерію елементів скалярним шляхом введення вектора параметрів , який задає чи відповідну важливість показників, чи умову на їх абсолютне значення.
Таким чином, вектори можна використовувати в якості координуючого сигналу, який центр відправляє елементам, і процедура координації буде складатися із почерговому розв’язку локальних задач оптимізації і координуючої задачі.
При розв’язку задач локальної оптимізації виконується відображення
(5.58)
де і – відповідно координуючий сигнал центру, що поступає до і-го елемента на t-му кроці ітераційної процедури, і відповідний цьому сигналу вектор показників із множини Парето цього елементу.
При розв’язку координуючої задачі виконується відображення
(5.59)
де – множина ефективних векторів F, отриманих центром від елементів до t-го кроку.
Конструктивні алгоритми розв’язку задачі (5.58) і (5.59) при умові, що центр намагається максимізувати цільову функцію , а на критерії накладені умови типу нерівності, приведені в [44]. Частковим випадком при цьому виступає відома задача розподілу ресурсів:
(5.60)
(5.61)
. (5.62)
Розглянемо алгоритм розв’язок задачі центра (5.55) в ситуації, коли модель центра є нечіткою в теорії Заде [1], а прийняті рішення здійснюються експертом в ході процедури людина-машина. При цьому будемо виходити із задачі (5.60) і (5.62).
Сконкретизуємо вид нечіткості. Будемо рахувати що умови (5.61) формуються експертом словесно, наприклад : «Допустимо, щоб було не менше ніж С1 і бажано, щоб не менше, ніж С2».
Цій фразі можна поставити в відповідності нечітку множину. Найбільш простий спосіб задання функції відповідності цієї множини знаходиться наступною формулою [4]:
В [45, 47] приведені більш складні формули, враховуючи не лінійність функції відповідності на відрізку [C1, C2]. Таким чином, k-му обмеженню ставиться у відповідність функція відповідності . Східним образом можна побудувати нечітку множину , відповідно цільової функції .
Будемо рахувати, що експерт добивається максимізувати свою функцію корисності, яка знаходиться через функцію відповідності і вектор терезів , де вказує степінь важливості k-го критерію або відповідному цьому критерію функції :
Із (6.60) і (6.61) бачимо, що в k-ий критерій центру входить k-і показники елементів , тому задає навіть відносну важність показників елементів і являється координуючим сигналом, який центр посилає елементам.
Функції можуть мати різну форму, частково:
Вагові коефіцієнти знаходять шляхом обробки відповідей експерта на задані йому питання. Успіх процедури людина-машина в багато чому залежить від того, чи будуть ці питання достатньо природними для експерта. На наш погляд, цій умові задовольняє процедура, в якій експерту представляють для порівняння два можливих варіанта і просять їх якісно порівняти, використовуючи заданий набір термів. З відси [5] введемо набір: «еквівалентно», «дещо краще (гірше)», «набагато краще (гірше)», «строго краще (гірше)».
Ці слова являються лінгвістичними мітками нечітких множин, згаданих на базовій множині
,
де , – допустимі.
Так як , то
Наприклад, функції відповідності терма «еквівалентно» і «набагато краще» можна задати формулами відповідно
Нехай при порівнянні варіантів і експерт вибрав лінгвістичну мітку [функція відповідності відповідної нечіткої множини ]. Тим самим задається нечітка множина якій мусить належати вектор .
Функція відповідності цієї множини
де
Якщо проводиться L порівнянь, то отримаємо функції відповідності. Результуюча функція відповідності знаходиться як перетин цих функцій:
.
Вектор, який має максимальне значення функції приналежності,
.
Цей вектор і є координуючим сигналом, який посилає елементам центр.