Розділ 1 основні поняття і елементи теорії нечітких множин і нечіткої логіки

1.1 Елементи теорії нечітких множин

Перш ніж приступити до викладу матеріалу, слід дати основні визначення операцій, прийнятих в теорії нечітких множин, представлені, головним чином, в [1 – 5], а також опис і визначення операцій, запропонованих останнім часом М. Міцумото [6 – 8].

У розділ включені тільки ті визначення і операції над нечіткими множинами, які можуть полегшити читачеві розуміння змісту наступних розділів.

Під поняттям множина розуміють сукупність елементів, що володіють деякою загальною властивістю. При цьому будь-який елемент наперед аксіоматично або належить даній множині, або не належить. Проте, як показала практика прикладних досліджень, подібний «булевий» принцип в переважній більшості випадків не відповідає процесам, що протікають в реальних складних системах, тобто приводить до невиправданої ідеалізації математичного опису таких систем. Іншими словами, мова звичайних множин виявляється недостатньо гнучкою для формалізації елементів невизначеності, властивих реальним системам.

Поняття нечіткої множини ґрунтується на припущенні про те, що будь-який елемент тільки в деякій мірі належить даній множині, тому одним з основних способів математичного опису нечіткої множини є визначення ступеня такої приналежності деяким числом, наприклад з інтервалу [0, 1]. При цьому межі інтервалу, тобто 1 і 0, означають, відповідно, «належить» і «не належить».

Визначення 1.1. Нехай U – деяка множина (у звичайному сенсі) елементів. Нечіткою множиною називають сукупність пар виду , де (іноді , – структура типу решітки) – функція, яку називають функцією приналежності (ФП).

Звичайні множини складають підклас класу нечітких множин, тобто функцією приналежності звичайної множини є характеристична функція

Нечітку множину називають порожньою, якщо її функція приналежності рівна нулю на всій множині U, тобто

.

Універсальну множину U можна описати функцією приналежності вигляду

.

Носієм нечіткої множини A ( ) з функцією приналежності називають множину вигляду

.

Нечітку множину А називають нормальною, якщо виконується рівність

, тобто верхня межа її функції приналежності рівна 1.

Інакше нечітку множину називають субнормальною. Нечітким синглтоном називають нечітку множину, носієм якої є єдина точка з множини U, тобто будь-яку нечітку множину А можна розглядати як об’єднання складових її одноточкових множин синглтонів, яке позначається в загальному випадку

,

а при кінцевій кількості елементів сумою

Якщо функції приналежності двох нечітких множин А і В з U рівні, то А і В рівні нечіткі множини, тобто якщо , то .

Над нечіткими множинами виконуються ті ж операції, що і над звичайними, а також операції, введені для використання нечітких множин в математичному апараті ухвалення рішень. Операції над нечіткими множинами, такі, наприклад, як об’єднання і перетин, можна визначити різними способами. Вибір конкретного з них залежить від специфіки вирішуваної задачі, тобто від конкретного змісту, що вкладається в ці операції.

Об’єднанням нечітких множин А і В з U називають нечітку множину виду

,

де .

Перетином нечітких множин А і B в U називають нечітку множинy вигляду

,

де .

Доповненням або запереченням нечіткої множини A називають нечітку множину вигляду

.

Концентрація нечіткої множини А з U, яка здійснює обмеження числа елементів множини, визначають у вигляді

Розтягування нечіткої множини А з U, що здійснює збільшення числа елементів множини, визначають у вигляді

Симетричною різницею називають нечітку множину виду , що має функцію приналежності

.

Множиною рівня α нечіткої множини називають множину в звичайному сенсі, складену з елементів , ступені приналежності яких нечіткій множині А не менше числа α. Таким чином, якщо – множина рівня α нечіткої множини А тo

Можна визначити і строге α-січення (множину рівня):

Тоді функцію приналежності можна визначити для довільної нечіткої множини А за допомогою його α-січення у вигляді

де

Нечітка множина рівня нечіткої множини А визначається таким чином:

.

Перевагою цього визначення є те, що в прикладних завданнях доцільно використовувати не самі нечіткі множини, а їх множини рівня, що дозволяє економити час обчислення і пам’ять обчислювальної машини.

Хай А і В – довільні нечіткі множини з U. Говорять, що А включає В ( ) якщо

.

Коли остання нерівність строга, тоді говорять, що включення строге. Очевидно, що , якщо і .

Як буде видно з подальших розділів, одним з математичних понять, що найчастіше зустрічаються, є поняття нечіткого відношення. Важливість цього поняття полягає в тому, що воно дозволяє формулювати і аналізувати математичні моделі реальних завдань ухвалення рішень. При цьому нечітке відношення виступає як деяка «міра» або ступінь, з яким об’єкти навколишнього світу знаходяться в даному відношенні один з одним.

Однією з особливостей справжньої книги є дослідження і використання для вирішення різних прикладних завдань нечітких відносин, що виражають причинно-наслідкові зв’язки між об’єктами і явищами. Виходячи із специфіки завдань, що розглядаються в подальших розділах, обмежимося розглядом тільки бінарних нечітких відносин, тобто відносин, що пов’язують один з одним два об’єкти, елементи і т. п., тому бінарне відношення називатимемо просто відношенням.

Визначення 1.2. Нечітким відношенням R на множині U називають нечітку підмножину декартового добутку , який характеризується функцією приналежності . Значення цієї функції розуміється як деяка суб’єктивна міра виконання відношення (L – деяка довільна решітка).

Очевидно, що, як і у випадку нечітких множин, звичайне відношення можна розглядати як окремий випадок нечіткого відношення, функція приналежності якого приймає значення 0 або 1.

Дамо деякі визначення, що характеризують нечіткі відносини.

Носієм нечіткого відношення R на множину U називають підмножину декартового добутку вигляду

.

Носієм нечіткого відношення слід розуміти як відношення на множину U, що зв’язує всі пари , для яких ступінь виконання даного нечіткого відношення не рівний нулю.

По аналогії з нечіткими множинами визначається і множина рівня нечіткого відношення тобто

.

Перейдемо до розгляду операцій над нечіткими відносинами, деякі з яких є аналогами операцій над нечіткими множинами, а деякі властиві тільки нечітким відносинам.

Перетином нечітких відносин Р і Q на називають нечітке відношення , яке визначається функцією приналежності

Об’єднанням нечітких відносин Р і Q на називають нечітке бінарне відношення , яке визначається функцією приналежності

Доповненням нечіткого відношення називають відношення з функцією приналежності

Зворотнім відношенням до відношення R називають відношення з функцією приналежності

Очевидно, що матриця є транспонованою до матриці R.

Важливе значення в прикладних завданнях, що розглядаються в подальших розділах, має добуток, або композиція, нечітких відносин. На відміну від звичайних відносин добуток (композицію) можна визначити різними способами. Наведемо деякі з визначень цієї операції, що найчастіше вживаються.

Максимільною композицією двох відносин Р і Q з називають відношення з функцією приналежності вигляду

Мінімаксною композицією двох нечітких відносин Р і Q з називають відношення з функцією приналежності вигляду

Максі-мультиплікативною композицією двох нечітких відносин Р і Q з називають відношення з функцією приналежності вигляду

Максі композицією двох нечітких відносин Р і Q з називають відношення з функцією приналежності вигляду