49.Поняття точки перегину. Необхідні умови точки перегину.

точка х0 наз. точкою перегину f(х) якщо при переході через неї графікф-ії змінює знак опуклості або:х0-т. перегину,якщо при переході через х0 змінюється знак різниці f(х)-L(х) де у=L(х) рівняння дотичної до у=f(х) в т.(х0,f(х0).

Теор(необхідна умова точки перегину):якщо в т.перегину ф-ії існує 2-а похідна то у 2 похідна=0.

дов: у=f(х), х0-точка перегину існує f´´(х0)→ f´´(х0)=0

у=L(х)=f(х)(х-х0)+f(х0)

f(х)-L(х)=f(х0)+(f´(х0)/1!)*(х-х0)+(f´´(х0))/2!*(х-хо)²+О((х-х0)²-f´(х)(х-х0)-f(х0).

права частина при переході через х0 зберігає знак і цей знак визначається f´´(х0), ліва частина при переході через х0 змінює знак (х2-т. перегину) отже рівність можлива лише тоді f´´(х0)=0

50.Достатні умови точки перегину.

1 достатня умова перегину:якщо ф-ія f(х) диф в т.х0, два рази диференційована в О(х0) то друга похідна змінює знак при переході через х0,то х0-т. прегину.

2 достатня умова:якщо в деякій т. 2-га похідна=0,а 3-я похідна≠0то ця т. є точкою перегину.

3 достатня умова:якщо ф-ія n раз диф в О(х0) f(в степені k)(х0)=0, k=2,n-1

f(в степені k)(х0)≠0→якщо n=2m+1,m=N, х0-т.перегину;m=2m+1,х0-не є т. перегину.

Дов:f(х)-L(х)= ((fֿ´(х0))/2!)*(х-х0)²+…+(f(в степені n-1)(х0))/(n-1)!+f(в стені n)(х0)*(х-х0)+

n!

+О((х-х0))(в степені n). при переході через х0(х-х0)(в степені n)міняє знак якщо n-непарна, не міняє знак n-парне, тому різниця f(х)-L(х) міняє знак при переході через х0 у випадку n-не парне.Отже х0-точка перегину,якщо n-не парне.

51.Поняття асимптоти. Визначення параметрів похилої асимптоти.

озн:якщо f(х)визначена на х>а(х<а),а єR,то у=kх+в наз.асимптою ф-ії у=f(х) при х→+∞ (-∞),якщо↔lim(f(х)-kх-в0=0

х→ +∞(-∞)

Теор:ф-ія у=f(х) має асимптоту у=kх+I,при х→+∞(-∞)↔існують скінченні границі k=lim(f(х)-k(х0)). k= lim(f(х)) /х, х→+∞(-∞) в=lim(f(х)-k(х),х→+∞(-∞)

Дов:←lim(f(х)-k(х)=0,х→0 → у=kх+в

→lim1/х=0,х→+∞(-∞) lim(1/х)*(f(v)-k(х)-в),х→+∞(-∞)

lim ((f(х))х-k-в/х)=0, х→+∞(-∞) k=lim(f(х))/х, х→+∞(-∞)

52.Лема про функції, що мають однакові похідні на інтервалі. Поняття первісної функції. Поняття невизначеного інтегралу, його властивості. Таблиця інтегралів.

нехай ∆ скінчений або нескінчений проміжок R, f(x),F(x),x є∆.Озн:ф-ія F(x) наз первісною-ії f(x)на∆ якщо F(x)диф. на ∆ та виконується F(x)=f(x)Vxє∆.Зауваження:F(x)-неперервне на ∆.якщоf(x)непер на∆то вона має первісну F(x)на∆.

лемма: для того щоб диф на ∆ф-ії F1і F2були первісними однієї і тєї ж f(х) необхідно і достатньо щоб вони відрізнялися на константу на проміжку∆.

←F2(х)=F1(х)+с,VсєR.

F´1(х)=f(х) (F2(х))´=F´1(х)=f(х),Vхє∆.

F2(х)-первісна для f(х)на∆.

→F1(х),F(х)-первісні f(х)∆.

F1(х)-F2(х) неперервна,диф на ∆.

(F1(х)-F2(х))´=f(х)-f(x)>0 V(x)є∆ наслідок теореми Лагранжа.F1(x)-F2(x)=C.

невиз.інтегр.від ф-ії f(x) наз.сукупність всіх первісних цієї ф-ії на∆.∫f(x)=def F(x)-деяка первісна f(x) на∆.Властив н.і.1)F(x)диф∆→∫dF(x)=F(x)+C;∫F’(x)dx=F(x)+C.2)f(x)має первісна на∆то d∫f(x)dx=f(x)dx (∫f(x)dx)=f(x).3)f1,f2 мають первісну на∆ ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx. 4) fмає первісну на ∆,αєR,α≠0→αf має первісну на∆ ∫αf(x)dx=α∫f1(x)dx. f1(x)має пер F1(x) на∆.∫f(x)dx=F1(x)+C.α∫f1(x)dx=αF1(x)+αc.(αF1(x))’=αf(x)→αf1(x) αF1(x)на∆.∫αf1(x)dx=αF1(x)+c,α≠0. наслідок:якщоf1,f2 непере. на∆ α1,α2-довільні числа але α1²+α2²>0.∫α1f1(x)+α2f2(x)dx=α1∫α1(x)dx+α2∫f2(x)dx.