- •Курс лекций по Динамике
- •Лекция 1 введение в динамику. Динамика точки
- •1 Законы динамики Галлилея-Ньютона
- •Система единиц механических величин. Для измерения механических величин применяются две системы единиц: физическая и техническая.
- •2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Проекции ускорения на касательную и главную нормаль определяются по формулам из кинетики:
- •3 Первая основная задача динамики
- •2 Решение задачи при действии постоянной силы
- •Решение задачи при действии силы, зависящей от времени
- •4 Решение задачи при действии силы, зависящей от скорости точки
- •5 Решение задачи при действии силы, зависящей от положения точки
- •Задача 1. Определение скорости точки с помощью дифференциальных уравнений
- •Затухающие свободные колебания, случаи апериодического движения
- •Частота затухающих колебаний
- •Введем в полученное уравнение гиперболические функции
- •Общее решение уравнения (4.3) получает вид
- •В этом случае амплитуда вынужденных колебаний
- •2. Явление биений и резонанса
- •Обозначим
- •Свободные колебания определяются уравнением
- •Вынужденные колебания при резонансе
- •Вынужденные колебания точки с учетом сопротивления движению.
- •При этих обозначениях дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
- •Корни этого уравнения
- •В этом случае
- •2 Характеристики инертности механической системы
- •3 Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей
- •4. Примеры определения моментов инерции масс тел простейшей формы
- •Моменты инерции некоторых тел
- •Кроме того, введем обозначения
- •Импульс силы
- •В проекциях на координатные оси это равенство принимает вид
- •3. Теорема об изменении количества движения
- •Пользуясь этими выражениями, получаем
- •Из уравнения (7.7) следует, что если
- •Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси
- •Кинетический момент механической системы относительно центра о
- •2. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Формулу (г) можно представить в виде: .
- •3. Дифференциальные уравнения сферического движения твердого тела
- •4. Элементарная теория гироскопа
- •2. Теоремы о работе силы.
- •3. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения
- •Проекции силы на оси координат будут
- •Элементарная работа силы упругости.
- •4. Работа сил, приложенных к твердому телу.
- •Работа на конечном перемещении
- •Воспользуемся основным уравнением динамики
- •2. Теорема о кинетической энергии механической системы в общем случае движения
- •3. Кинетическая энергия твердого тела
- •4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом перемещении равна нулю, т. Е. . Для твердого тела уравнение (14) принимает вид
- •Механический коэффициент полезного действия машины
- •2. Принцип Германа - Эйлера - Даламбера для несвободной механической системы
- •3. Приведение сил инерции точек твердого тела к простейшему виду
- •4. Определение динамических реакций подшипников при вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Возможные (виртуальные) перемещения механической системы. Идеальные связи
- •2. Принцип возможных перемещений
- •3. Применение принципа возможных перемещений к простейшим машинам
- •2 Обобщенные силы и примеры их вычисления
- •На основании (13.8) имеем
- •Выражение обобщенных сил через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат. Случай сил, имеющих потенциал
- •3. Общее уравнение динамики в обобщенных силах. Приведем общее уравнение динамики (13.4) к виду
- •Задача 4. Применение общего уравнения динамики к изучению механической системы
- •Понятие об устойчивости равновесия механической системы
- •Поэтому состояние покоя метронома устойчиво, если
- •1. Уравнения Лагранжа второго рода
- •Задача 5. Исследование механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода
- •2. Кинетический потенциал. Циклические координаты
- •Циклические координаты. Циклические интегралы. Обобщенные координаты, которые не входят явно в выражение кинетического потенциала l, называются циклическими координатами.
- •Кинетический потенциал точки
- •3. Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского Общие понятия
- •Общее уравнение динамики имеет вид
- •2 Коэффициент восстановления при ударе. Удар тела о неподвижную преграду
- •3 Прямой центральный удар двух тел
- •4 Потеря кинетической энергии при ударе двух тел. Теорема карно
- •Начальная кинетическая энергия тел
- •Кинетическая энергия тел в конце удара
- •Потеря кинетической энергии тел за время удара
- •Формула принимает вид
- •5 Действие ударных сил на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, и на твердое тело, совершающее плоское движение
Общее решение уравнения (4.3) получает вид
. (4.7)
Если же решению однородного уравнения придать вид (4.6), то общее решение уравнения (4.3) примет вид
. (4.8)
Уравнение (4.8) показывает, что точка М совершает сложное колебательное движение, складывающееся из двух гармонических колебаний. Первый член правой части уравнения (4.8) определяет свободные колебания, а второй — вынужденные колебания точки.
Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат наложения свободных и вынужденных колебаний точки.
Постоянные интегрирования C1 и С2 в уравнении (4.7) или постоянные А и β и уравнении (4.8) определяются по начальным условиям движения.
Последний член правой части уравнения (4.7) и (4.8), определяющий вынужденные колебания точки, не содержит постоянных интегрирования, следовательно, вынужденные колебания не зависят от начальных условий движения точки.
Исследуем вынужденные колебания точки. Эти колебания определяются уравнением (4.6):
.
Частота р и период τ=2π/р вынужденных колебаний совпадают с частотой и периодом изменения возмущающей силы.
Вынужденные колебания, частота р которых меньше частоты k свободных колебаний точки, называют вынужденными колебаниями малой частоты.
Вынужденные колебания, частота р которых больше частоты k свободных колебаний, называют вынужденными колебаниями большой частоты.
Фаза вынужденных колебаний. Уравнение вынужденных колебаний малой частоты (при р < k) имеет вид (4.6):
.
В этом случае фаза колебаний (pt+δ) совпадает с фазой возмущающей силы и амплитуда вынужденных колебаний определяется формулой (4.5):
.
В случае вынужденных колебаний большой частоты (при р > k) уравнению (6) придают такой вид, чтобы коэффициент при синусе был положительным:
. (4.9)
В этом случае амплитуда вынужденных колебаний
. (4.10)
Фаза вынужденных колебаний большой частоты (pt+δ-π) отличается от фазы возмущающей силы (рt+δ) на величину π, т. е. фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы противоположны.
Таким образом, в случае вынужденных колебаний малой частоты точка М всегда отклонена от начала координат О в ту сторону, в которую направлена в данный момент возмущающая сила .
В случае вынужденных колебаний большой частоты отклонение точки М от начала координат О всегда противоположно направлению возмущающей силы в данный момент. При этом в обоих случаях максимальное отклонение точки от начала координат происходит в момент времени, когда модуль возмущающей силы достигает максимума.
Амплитуда вынужденных колебаний. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний AВ от частоты р возмущающей силы. Для этого введем статическое отклонение Ао точки М от начала координат О под действием постоянной силы Н (рис. 4.3).
Величина Aо определяется из условия равновесия сил и :
Рис. 4.3
,
откуда
.
Отношение η амплитуды вынужденных колебаний AВ к величине Ао называется коэффициентом динамичности:
при р < k
(4.11)
при р > k
(4.12)
Изменение амплитуды вынужденных колебаний AВ в зависимости от изменения частоты возмущающей силы р характеризуется графиком коэффициента динамичности (рис. 4). На горизонтальной оси этого графика отложены значения отношения р/k, а на вертикальной оси — соответствующие значения η=АB/Аo, определенные по формуле (11) при р<k и по формуле (4.12) при p>k.
Рис. 4.4
График показывает, что при увеличении частоты возмущающей силы от р = 0 до р = k коэффициент динамичности растет от единицы до бесконечности, а при дальнейшем увеличении р до бесконечности коэффициент динамичности убывает от бесконечности до нуля. При р= k коэффициент динамичности равен бесконечности. Этот случай вынужденных колебаний, называемый явлением резонанса, рассмотрен ранее.
Закончив исследование уравнения (4.6), определяющего вынужденные колебания точки, рассмотрим уравнение (4.7), которое определяет результирующее движение точки под действием возмущающей и восстанавливающей сил:
.
Продифференцируем это уравнение по t:
.
Определим значения постоянных С1 и С2, подставив в два последних уравнения начальные условия движения точки to= 0, xo, o:
откуда
.
Подставим эти значения C1 и С2 в уравнение (4.7):
. (4.13)
Согласно уравнению (4.13), движение точки М можно рассматривать как результат сложения трех ее движений:
1). свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, отклонении точки из положения покоя на расстояние хо и сообщении ей начальной скорости vo, проекция которой на ось х равна :
;
2) колебаний, имеющих тоже частоту k, но вызванных действием на точку возмущающей силы:
3) вынужденных колебаний точки, частота которых равна частоте возмущающей силы р:
.