2. Явление биений и резонанса
Явление
биений. При
частоте возмущающей силы, близкой к
частоте свободных колебаний точки,
наступает явление, называемое биениями.
Полагая в уравнении (4.13)
и
,
рассмотрим колебания материальной
точки, вызываемые лишь действием
возмущающей силы:
.
Принимая p/k =1, приведем это уравнение к виду
.
Используя формулу
и имея в виду, что (р + k)/2 ≈ р, получаем
(4.14)
Уравнение (4.14) определяет движение точки, являющееся результатом наложения дополнительных колебаний, вызванных действием возмущающей силы, на собственно вынужденные колебания в случае р≈ k.
Обозначим
(4.15)
Тогда уравнение (4.14) примет вид
.
(4.16)
Рис. 4.5
Движение, определяемое уравнением (4.16), можно рассматривать как колебания частоты р и периода τ = 2π/р, амплитуда которых A (t) является периодической функцией (4.15). Период изменения амплитуды
.
(4.17)
Так как р≈k, то период ТA велик по сравнению с периодом τ=2π/р.
График движения, определяемого уравнением (4.16) и называемого биениями, показан на Рис. 5.
Явление резонанса. Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний точки: p=k.
В этом случае амплитуда вынужденных колебаний точки, вычисленная как по формуле (4.5), так и по формуле (4.10), равна бесконечности и многие выражения теряют смысл. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (4.3) при р = k принимает вид
(4.18)
Уравнение (4.18) имеет общее решение
x = x* + x**.
Здесь общее решение однородного уравнения по-прежнему можно представить в виде:
.
Частное решение х** уравнения (4.18) должно быть линейно независимым от х*. Потому вид (4.4) в этом случае непригоден и частное решение х** находим в виде
.
(4.19)
Определяем производную х** как производную произведения функций Bt и cos (kt+δ):
.
Аналогично
.
Для
нахождения
величины
В
подставляем значения х**
и
**
в уравнение
(4.18):
или
.
Приравниваем коэффициенты при синусе в обеих частях уравнения:
.
Рис. 4.6
Получаем общее решение дифференциального уравнения (4.18):
,
или
.
(4.20)
Уравнение (4.20) показывает, что движение точки М при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же как и при р≠ k..
Свободные колебания определяются уравнением
.
Вынужденные колебания при резонансе
.
(4.21)
Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте k и периоду T= 2π/k свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний kt+δ-π/2 отстает от фазы возмущающей силы kt +δ на π/2.
Уравнение (4.21) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени. График вынужденных колебаний точки при резонансе показан на рис. 4.6.