Криволинейные и поверхностные интегралы
№198. Если кривая
задана уравнением
,
то какая из формул вычисления справедлива?
Ответ: а)
;
б)
:
в)
.
№199. Если кривая
задана уравнениями
,
,
то какая из формул вычисления справедлива?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№200. Если кривая
задана уравнением
,
то какая из формул вычисления справедлива?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№201. Укажите правильную формулу вычисления длины дуги.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№202. Укажите правильную формулу
вычисления массы дуги, если
- её переменная линейная плотность.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№203. Укажите правильную формулу вычисления статического момента дуги относительно оси , если - её переменная линейная плотность.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№204. Укажите правильную формулу вычисления момента инерции дуги относительно оси , если - её переменная линейная плотность.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№205. Положительным называется направление обхода контура, при котором
Ответ: а) область, ограниченна контуром, остается слева; б) область, ограниченна контуром, остается справа; в) контур обходится по часовой стрелке; г) контур обходится против часовой стрелки.
№206. Если кривая задана уравнением , то какая из формул вычисления справедлива?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№207. Если кривая
задана уравнениями
,
то какая из формул вычисления справедлива?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№208. Укажите правильную запись формулы Грина.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№209. Для того чтобы интеграл
не зависел от формы кривой интегрирования,
должно выполнятся и условие:
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№210. Какое из утверждений неверно?
Ответ: а) если
,
то
;
б) если
,
то
не зависит от формы контура
;
в) если
,
то
зависит от формы контура
;
г)
не зависит от формы контура
.
№211. Укажите правильную формулу вычисления площади плоской фигуры, ограниченной контуром .
Ответ: а)
;
б)
;
в)
.
№212. Укажите правильную формулу для нахождения работы переменной силы
при перемещении материальной точки по
кривой
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№213. Сторона поверхности
называется положительной в направлении
оси
,
если:
Ответ: а) любая прямая параллельная оси , пересекает сторону поверхности только одной точке; б) в каждой точке стороны поверхности существует непрерывно меняющаяся касательная плоскость, непараллельная оси ; в) нормаль к стороне поверхности в произвольной точке составляет с осью острый угол; г) проекция стороны поверхности на плоскость располагается только в 1-ой четверти.
№214. Какое из утверждений имеет место:
а) поверхностный интеграл I рода не зависит от ориентации поверхности в направлении каждой координатной оси; б) если подынтегральная функция нечетная, то поверхностный интеграл I рода равен нулю; в) если подынтегральная функция непрерывна в каждой точке поверхности, то поверхностный интеграл I рода по этой поверхности существует;
г) если поверхность интегрирования является цилиндрической с образующей, параллельной оси , то соответствующий поверхностный интеграл I рода равен нулю.
Ответ: а); б); в); г).
№215. Вычисление поверхностных интегралов I рода в общем случае сводится к вычислению:
Ответ: а) тройных интегралов; б) двойных интегралов; в) криволинейных I рода по границе поверхности; г) поверхностных по координатам и .
№216. Элемент площади поверхности
находят по формуле:
Ответ: а)
,
если поверхность задана уравнением
;
б)
,
если поверхность интегрированная
цилиндрическая с образующей, параллельной
оси
;
в)
,
если поверхность задана неявно уравнением
;
г)
,
если уравнение поверхности
.
№217. Если поверхность интегрирования
задана уравнением
,
то по какой формуле целесообразно
вычислить
?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№218. Если - переменная поверхностная плотность поверхности , то по какой формуле вычисляют массу этой поверхности?
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№219. Если поверхность
однородная (плотность
),
то какую величину можно найти с помощью
интеграла
?
Ответ: а) площадь поверхности; б) статический момент поверхности относительно плоскости ; в) полярный момент инерции поверхности относительно начала координат;
г) момент инерции поверхности относительно оси .
№220. Какую величину можно найти с
помощью интеграла
,
если
в каждой точке поверхности
?
Ответ: а) массу поверхности; б)
площадь поверхности; в) статический
момент относительно оси
;
г) статический момент однородной
пластины относительно плоскости
№221. Что выражает равенство
,
если
- угол между осью
и нормалью к поверхности
?
Ответ: а) формулу вычисления поверхностных интегралов II рода; б) формулу, определяющую ориентацию поверхности в направлении оси ; в) формулу связи между поверхностными интегралами I и II рода; г) другой ответ.
№222. Какое из свойств поверхностных интегралов II рода не имеет места:
а) Поверхностные интегралы II
рода зависят от ориентации поверхности
в направлении соответствующей оси;
б) если
- цилиндрическая поверхность с образующей,
параллельной оси
,
то
;
в) если
- угол, образованный нормалью к поверхности
с осью
,
;
г) если всюду на поверхности
,
то и
.
Ответ: а); б); в); г).
№223. Если - область, ограниченная замкнутой поверхностью , то какое из равенств соответствует формуле Остроградского – Гаусса:
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
?
№224. Что определяет формула Стокса?
Ответ: а) связь между поверхностными интегралами I и II рода; б) связь между поверхностным интегралам по координатам и тройным по области, ограниченной поверхностью интегрирования; в) связь между двойным и тройным интегралами; г) связь между криволинейным по замкнутому контуру и поверхностным по поверхности, границей которой служит контур.
№225. Если границей поверхности служит контур и поверхность проецируется на плоскость в область , то какое из равенств не соответствует формуле Стокса:
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) ?
№226. Вычислить
,
где
.
Ответ: а)
;
б) 4; в)
;
г) другой ответ.
№227. Найти момент инерции относительно
оси
однородной дуги
,
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№228. Найти длину астроиды
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№229. Найти статический момент
относительно оси
дуги
,
если в каждой ее точке линейная плотность
равна ординате этой точки.
Ответ: а) 0; б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№230. Вычислить
,
где
- отрезок прямой от точки
до точки
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№231. Вычислить
,
где
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№232. Вычислить
,
где
- контур, составленный из дуги
и отрезка оси
.
Ответ: а) 0; б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№233. Вычислить
вдоль периметра квадрата с вершинами
,
,
,
,
пробегаемого в отрицательном направлении.
Ответ: а)
;
б)
;
в) 0; г) другой ответ.
№234. Вычислить
,
где
в первой четверти.
Ответ: а)
;
б) 0; в)
;
г) другой ответ.
№235. Найти работу, производимую
силой
по перемещению материальной точки вдоль
дуги
кривой
,
где
,
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№236. Найти работу, производимую
силой
по перемещению материальной точки вдоль
дуги кривой
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г) другой ответ.
№237. Вычислить
,
где
часть плоскости
,
расположенная в 1 –ом октанте.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№238. Вычислить
,
где
- полусфера
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
№239. Найти площадь части поверхности
параболоида
,
отсеченной плоскостями
и
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№240. Найти массу конической поверхности
,
ограниченной плоскостью
,
если ее плотность в каждой точке
пропорциональна расстоянию этой точки
до оси конуса.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№241. Найти массу части цилиндра
,
отсеченной плоскостями
и
,
если плотность в каждой ее точке обратно
пропорционально квадрату расстояния
этой точки до начала координат.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№242. Найти статистический момент относительно плоскости части плоскости
,
расположенной в 1-ом октанте, если
плотность в каждой ее точке равна
абсциссе этой точки.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№243. Определить момент инерции
относительно оси
части плоскости
,
лежащей в 1-ом октанте и ограниченной
плоскостью
.
Считать поверхность однородной с
плотностью
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№244. Найти полярный момент инерции (относительно начала координат) части однородного конуса отсеченного плоскостью . (Положить плотность )
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№245. Вычислить
,
где
- внутренняя часть цилиндра
,
отсеченная плоскостями:
.
Ответ: а) 280; б) -316; в) 200; г) -324.
№246. Вычислить
,
где
- внутренняя сторона нижней полусферы
радиуса
.
Ответ: а)
;
б)
;
в) 0; г)
.
№247. Вычислить
,
где
- внешняя сторона поверхности, составленной
из части цилиндра
и плоскостей
и
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№248. Вычислить
где
- внутренняя сторона поверхности куба,
составленного плоскостями;
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
№249. Вычислить
,
где
- внешняя часть цилиндра
,
отсеченная плоскостями
.
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Зав кафедрой Азаренко Е.В.