СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЯДЕРНОЙ
ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
ЗАДАНИЯ
для оценки уровня теоретических знаний и практических навыков по учебной дисциплине
«Высшая математика»
I курс II сем. 2012
Севастополь – 2012
ЗАДАНИЯ
для оценки уровня теоретических знаний и практических навыков по учебной дисциплине
«Высшая математика»
Применение производных к исследованию функций
№1. Укажите правильную формулировку теоремы Ролля:
Ответ: а) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ;
б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка , производная в которой равна нулю ;
в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны нулю , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю ;
г) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке и значения функции на концах отрезка равны , то внутри отрезка существует единственная точка , производная в которой равна нулю .
№2. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы:
Ответ: а) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы графика функции;
б) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;
в) на графике функции найдется хотя бы одна точка, касательная в которой параллельна оси ;
г) на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой нельзя построить касательную.
№3. Укажите правильную формулировку теоремы Лагранжа:
Ответ: а) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;
б) если функция непрерывна на интервале , дифференцируема на отрезке , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство ;
в) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует единственная точка такая, что справедливо равенство ;
г) если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что справедливо равенство .
№4. Укажите правильную формулировку теоремы Лопиталя для неопределенности :
Ответ: а) если функции и дифференцируемы в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; б) если функции и непрерывны в точке и ее окрестности, при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; в) если функции и дифференцируемы в окрестности точки , исключая саму точку , при указанных , то, если существует предел , то существует и предел ; г) если функции и непрерывны в точке , , то, если существует предел , то существует и предел .
№5. Какое из утверждений верно?
Ответ: а) если , то ; б) правило Лопиталя справедливо для всех видов неопределённостей; в) правило Лопиталя не применимо, если ;
г) если не существует, то и не существует.
№6. Какое из равенств определяет формулу Тейлора для функции в окрестности точки ?
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
№7. Для того чтобы дифференцируемая функция была возрастающей в интервале достаточно, чтобы в каждой точке этого интервала:
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
№8. Продолжите формулировку теоремы Ферма: если точка есть точка экстремума дифференцируемой функции , то:
Ответ: а) производная функции в этой точке не существует; б) производная функции в этой точке равна нулю или не существует; в) производная функции в этой точке равна нулю;
г) при переходе через эту точку производная меняет знак.
№9. Критической точкой функции называется точка, в которой
Ответ: а) производная функции равна нулю или не существует; б) производная функции равна нулю; в) производная функции не существует; г) производная функции равна константе.
№10. График функции называется вогнутым на интервале, если на этом интервале:
Ответ: а) все точки графика функции за исключением точки касания, лежат выше соответствующих точек любой касательной к графику функции; б) все точки графика функции лежат выше хорды, стягивающей концы графика функции; в) все точки графика функции лежат ниже хорды, стягивающей концы графика функции; г) все точки графика функции за исключением точки касания, лежат ниже соответствующих точек любой касательной к графику функции.
№11. Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид , где
Ответ: а) , ; б) , ;
в) , ; г) , .
№12. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 1/3; б) -1/3; в) 0; г) ∞.
№13. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 1; б) -1; в) 0; г) ∞.
№14. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) 0; г) 1.
№15. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) -2; б) 2; в) ; г) 0.
№16. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 0; б) ; в) ; г) 2.
№17. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б)1; в) ; г) 0.
№18. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) ; г) 0.
№19. Вычислить предел по правилу Лопиталя
Ответы: а) 0; б) ; в) 2; г) не существует.
№20. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) 3; б) ; в) 0; г) .
№21. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) ; г) 0.
№22. Вычислить предел по правилу Лопиталя Ответы: а) ; б) ; в) 1; г) .
№23. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .
Ответы: а) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале ; . б) возрастает в интервалах , , убывает в интервале ; . в) возрастает в интервалах , , убывает в интервалах , ; . г) убывает в интервалах , , возрастает в интервале ; .
№24. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Ответы: а) убывает в интервалах , ; возрастает в интервалах , . б) возрастает в интервалах , ; убывает в интервалах , . , . в) возрастает в интервале ; убывает в интервале г) убывает в интервале ; возрастает в интервале
№25. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Ответы: а) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале . б) убывает в интервалах , ; возрастает в интервале . в) возрастает в интервалах , ; убывает в интервале . г) убывает в интервале ; возрастает в интервале ; .
№26. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Ответы: а) убывает в интервале ; экстремумов нет.
б) возрастает в интервале , ; экстремумов нет. в) возрастает в интервале ; убывает в интервале . г) убывает в интервале ; возрастает в интервале .
№27. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции
Ответы: а) интервалы вогнутости , ; интервал выпуклости точки перегиба ; б) интервалы выпуклости , ; интервал вогнутости точки перегиба ; в) интервалы вогнутости , ; интервал выпуклости точки перегиба ; г) график выпуклый; точек перегиба нет.
№28. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Ответы: а) интервалы выпуклости , ; интервал вогнутости ; точки перегиба , ; б) интервал выпуклости , интервал вогнутости ; точка перегиба ; в) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , ; г) интервал вогнутости , интервал выпуклости ; точка перегиба .
№29. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Ответы: а) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , ; б) интервалы выпуклости , , интервал вогнутости ; точки перегиба , ; в) интервал выпуклости ; интервал вогнутости , ; точка перегиба ; г) интервал выпуклости ; интервал вогнутости ; точка перегиба .
№30. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции .
Ответы: а) интервал выпуклости , ; интервал вогнутости ; точки перегиба , ; б) интервал вогнутости , интервал выпуклости ; точка перегиба ; в) интервалы вогнутости , , интервалы выпуклости , ; точки перегиба , , ; г) интервалы вогнутости , , интервал выпуклости ; точки перегиба , .
№31. Найти асимптоты графика функции .
Ответы: а) , ; б) , ;
в) , не существует; г) и не существует.
№32. Найти асимптоты графика функции
Ответы: а) , ; б) , ;
в) , ; г) , .
№33. Найти асимптоты графика функции
Ответы: а) , ; б) , ;
в) , ; г) , .
№34. Найти асимптоты графика функции
Ответы: а) , ; б) не существует, правосторонняя ;
в) не существует, ; г) и не существует.