Функции нескольких переменных
№ 108. Какое из определений числовой функции наиболее точное?:
Ответ: а) соответствие, при котором каждой паре числовых значений отвечает только одно значение переменной ; б) соответствие, при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величин , отвечают значения переменной ;
в) соответствие, при котором каждой паре числовых значений двух независимых друг от друга переменных величин , отвечает одно и только одно значение переменной величины ;
г) числовой закон соответствия между переменными и переменной ?
№ 109. График функции это:
Ответ: а) пространственная кривая; б) поверхность; в) множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению ; г) совокупность двух пересекающихся пространственных кривых.
№ 110. Предел функции двух переменных существует тогда и только тогда, когда:
Ответ: а) независимо друг от друга; б) предел есть одно и тоже число по любому из направлений, идущих в точку ; в) ; г) другой ответ.
№ 111. Продолжить определение: Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке и ее окрестности и если…
Ответ: а) она ограничена в окрестности точки; б) является бесконечно малой в т. ;
в) ; г) - конечное число.
№ 112. Частной производной функции по одному из аргументов называется:
Ответ: а) предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению этого аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом; б) предел отношения приращения функции к приращению этого аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом; в) предел отношения приращения функции к приращению этого аргумента, если аргумент стремится к нулю произвольным образом; г) предел отношения соответствующего частного приращения функции к сумме приращений аргументов, если приращение каждого аргумента стремится к нулю независимо друг от друга.
№ 113. Выбрать правильный ответ и пояснить на чертеже. Геометрически частная производная по функции , вычисленная в т. , это:
Ответ: а) касательная, проведенная в соответствующей точке графика данной функции;
б) угол наклона касательной, проведенной в соответствующей точке графика данной функции;
в) тангенс угла наклона касательной, проведенной в соответствующей точке графика данной функции; г) тангенс угла между осью и касательной, проведенной в соответствующей точке графика функции к линии его пересечения плоскостью
№ 114. Смешанные производные -го порядка (к = 2,3,4…) функции
равны между собой, если:
Ответ: а) они непрерывны; б) функция имеет всевозможные непрерывные частные производные -го порядка и смешанные производные имеют одинаковое число дифференцирований по каждому из аргументов; в) они непрерывны и имеют одинаковое число дифференцирований по каждому из аргументов; г) они ограничены и имеют одинаковое число дифференцирований по каждому из аргументов.
№ 115. Частный дифференциал функции по одному из аргументов это:
Ответ: а) соответствующее частное приращение функции, умноженное на приращение аргумента; б) главная часть соответствующего частного приращения функции, умноженная на приращение аргумента; в) главная часть соответствующего приращения функции, линейная относительно соответствующего приращения аргумента; г) соответствующее частное приращение функции, умноженное на соответствующий дифференциал аргумента.
№ 116. Какая формула нахождения полного дифференциала функции является правильной? Объяснить все символы равенства.
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№ 117. Указать правильную формулу нахождения полной производной сложной функции где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№ 118. Указать правильную формулу нахождения производной сложной функции , где .
Ответ: а) ; б) .
в) ; г) .
№ 119. Указать правильные формулы нахождения частных производных сложной функции , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№120. Указать правильные формулы нахождения частных производных сложной функции , где , ?
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
№121. Указать правильные формулы нахождения частных производных сложной функции , где , ?
Ответ: а) ; ;
б) ; ;
в) ; ;
г) ; .
№122. Если - неявная функция одной переменной , заданная равенством , то какая из формул нахождения ее производной является верной:
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) ?
№123. Касательная плоскость к поверхности в данной точке это плоскость:
Ответ: а) которая, имеет с поверхностью только одну общую точку; б) в которой расположены все касательные к линиям, целиком лежащими на поверхности и проходящим через одну и ту же точку; в) проходящая через две пересекающиеся касательные к поверхности в точке их пересечения; г) другой ответ
№124. Нормаль к поверхности это:
Ответ: а) нормальный вектор к поверхности; б) прямая, проходящая через начало координат перпендикулярно касательной плоскости; в) прямая, перпендикулярная касательной плоскости в точке касания; г) любой нормальный вектор к касательной плоскости.
№125. Критическая точка дифференцируемой функции 2-х переменных это точка, в которой:
Ответ: а) обе частные производные 1-го порядка и не существуют;
б) хотя бы одна частная производная 1-го порядка обращается в нуль или обе не существуют;
в) обе частные производные 1-го порядка обращается в нуль или хотя бы одна из них не существует; г) обе частные производные 1-го порядка обращаются в нуль.
№126. Какой из вариантов необходимого условия существования в точке экстремума функции является верным:
Ответ: а) Если в т. обе частные производные 1-го порядка обращаются в нуль, то т. - точка ; б) если т. - критическая точка функции , то в т. существует ; в) если т. - т. , то в этой точке обе частные производные 1-го порядка равны нулю или хотя бы одна из них не существует; г) если т. - т. , то т. - особая точка данной функции ?
№127. Найдите условие, позволяющее заключить, что в стационарной точке функция имеет максимум.
Ответ: а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , .
№128. Найти и построить область определения функции .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) вся плоскость , кроме точек .
№129. Найти и построить область определения функции .
Ответ: а) Вся плоскость , кроме точек ; б) вся плоскость , кроме точек ;
в) вся плоскость , кроме точек гиперболы ; г) вся плоскость , кроме точек .
№130. Найти и построить область определения функции .
Ответ: а) Вся плоскость , кроме точек прямых и ; б) вся плоскость , кроме точки ; в) часть плоскость , лежащая между ветвями гиперболы , исключая ее точки; г) часть плоскость , лежащая между ветвями гиперболы .
№131. Найти частную производную функции по .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№132. Найти частную производную функции по .
Ответ: а) б) ; в) ; г) .
№133. Найти частную производную функции по .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
№134. Найти частный дифференциал по функции .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№135. Найти частный дифференциал по функции .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№136. Найти частный дифференциал по функции .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№137. Найти полный дифференциал функции .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№138. Найти полный дифференциал функции .
Ответ: а) ;
б) ;
в) ;
г) .
№139. Найти производную функции , заданной неявно, если .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
№140. Найти частную производную функции по , заданной неявно, если, .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№141. Найти частную производную по функции , заданной неявно, если .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№142. Найти производную сложной функции, если , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№143. Найти производную сложной функции, если , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№144. Найти частную производную по , , сложной функции, если , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№145. Найти частную производную по , , сложной функции, если , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№146. Найти частную производную по , , сложной функции, если , где .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№147. Найти смешанную производную 3-го порядка функции .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
№148. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
в т. .
Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .
№149. Составить уравнения нормали к поверхности в точке .
Ответ: а) ; б) ;
в) ; г) .
№150. Найти экстремумы функции .
Ответ: а) при ; б) при ;
в) экстремума нет; г) при .
№151. Найти экстремумы функции .
Ответ: а) при ; б) при ;
в) экстремума нет; г) при .