Министерство образования и науки

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный университет»

Кафедра «Математическое моделирование»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ

ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

по дисциплине

Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа

Направление подготовки: 011000 – Механика. Прикладная математика

Специальность: бакалавр механики

Форма обучения: очная

Тула 2010

Методические указания для типовых расчетов составлены доцентом кафедры А. В. Кудряшовым и обсуждены на заседании кафедры «Математическое моделирование» механико-математического факультета, протокол №_1_ от "30"_августа_2010 г.

Зав. кафедрой _____________________ А.А. Маркин

Методические указания для типовых расчетов пересмотрены и утверждены на заседании кафедры «Математическое моделирование» механико–математического факультета, протокол №____ от "___"_____________2010 г.

Зав. кафедрой _____________________ А.А. Маркин

Типовой расчет №1. Разложение вектора по косоугольному базису. Алгебра тензоров. Задание №1.

Цель: выработать у студентов понимание того факта, что для выполнения алгебраических операций с векторами в косоугольном базисе и, как следствие, определение их длин и углов между ними, достаточно знать компоненты этих векторов и компоненты метрики в этом базисе. Информация об ориентации косоугольного базиса относительно декартова является избыточной.

Для заданных компонент метрики и векторов и определить:

1. Длины векторов и , угол между ними.

2. Длину вектора .

3. Угол между векторами и .

4. Совместив направление вектора с направлением вектора декартова базиса , схематично изобразить вектора на рисунке (соблюдение масштаба необязательно).

Варианты заданий:

Для вариантов №1-№15: , ,

Для вариантов №16-№30: , ,

Задание 2.

Для графически заданных векторов базиса и вектора определить:

1. Декартовы компоненты векторов .

2. Компоненты метрики в базисе векторов .

3. Компоненты метрики в базисе векторов .

4. Найти компоненты вектора в базисе векторов .

5. Найти длину вектора двумя способами:

   1. используя его разложение по декартову базису;

   2. используя его разложение по базису и компоненты метрики в этом базисе.

6. Определить декартовы компоненты векторов взаимного базиса , изобразить вектора взаимного базиса на рисунке.

7. Найти ковариантные компоненты вектора .

Задания.

Вариант	Данные для расчета
1	Рис. 1.,
2	Рис. 1.,
3	Рис. 1.,
4	Рис. 2.,
5	Рис. 2.,
6	Рис. 2.,
7	Рис. 3.,
8	Рис. 3.,
9	Рис. 3.,
10	Рис. 4.,
11	Рис. 4.,
12	Рис. 4.,
13	Рис. 5.,
14	Рис. 5.,
15	Рис. 5.,
16	Рис. 6.,
17	Рис. 6.,
18	Рис. 6.,
19	Рис. 7.,
20	Рис. 7.,
21	Рис. 7.,
22	Рис. 8.,
23	Рис. 8.,
24	Рис. 8.,
25	Рис. 9.,
26	Рис. 9.,
27	Рис. 9.,

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.