1. Сформулируйте определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.

Определение: Максимальное по модулю собственное значение λА неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор А - вектором Фробениуса для А.

Теорема Фробениуса-Перрона: Для любой неотрицательной матрицы А>=0 существует собственное значение λА>=0 (называемое числом Фробениуса) такое, что λА>=⃒λ⃒ для любого собственного значения λ матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор xА>=0, соответствующий собственному значению λА и называемый вектором Фробениуса. Причем, если А>0, то λА>0 и вектор xА>0.

2. Сформулируйте 1-ый критерий продуктивности.

Матрица А>=0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица существует и неотрицательна.

3. Сформулируйте 2-ой критерий продуктивности.

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее число Фробениуса меньше 1.

4.Сформулируйте определение запаса продуктивности неотрицательной матрицы. Выведите формулу для вычисления запаса продуктивности через число Фробениуса.

Пусть А>0 – продуктивная матрица. Запасом продуктивности матрицы А назовем такое число α>0, что все матрицы λА, где 1<λ<1+α, продуктивны, а матрица (1+α)*А не продуктивна.

Выведение формулы: 1) А; 2) E-λA; 3) |E-λA|=0; 4) α=λ-1.

5. Запишите структурную таблицу межотраслевого баланса Леонтьева и уравнение модели равновесных цен для двухотраслевой экономики; укажите экономический смысл входящих в уравнение величин. Запишите формулу вычисления через известные элементов матрицы Леонтьева через известные элементы структурной таблицы межотраслевого баланса.

Матрица Леонтьева:

A= |a11 a12|

|a21 a22|

|E-A|= | 1-a11 a12 |

| a21 1-a22 |

|E-A|^-1= 1/((1-a11)(1-a22)-(a21*a22)) * |1-a22 -a21 |

|-a12 1-a11|

_ _

X=|E-A|^-1 * Y _ _ _

Модель равновесных цен: P=A^Tp + v, где вектор v=(v¹, v², … ,vⁿ)^T – вектор норм добавленной стоимости. Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева, с той лишь разницей, что вектор х заменен на вектор р, вектор y – на вектор v, матрица А заменена на транспонированную – A^T.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей. Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

6. Приведите примеры задач линейного программирования на минимум ( задача о диете) и на максимум (задача об использовании ресурсов): текстовую формулировку и математическую постановку задачи.

Задача о диете. Пусть имеется 2 вида продуктов П₁ и П₂, содержащих питательные вещества А, В, С. В 1кг продуктов П₁ и П₂ содержится определенное количество питательных веществ того или иного вида.

Известно: a, b, c – ежесуточное потребление А, В и С соответственно.

s₁,s₂ – стоимости 1 кг продуктов П₁ и П₂ соответственно.

Требуется рассчитать количество x₁ продукта П₁ и количество x₂ продукта П₂ так, чтобы обеспечить необходимое количество питательных веществ при min затратах на продукты.

Общая стоимость продуктов будет f = s₁x₁ + s₂x₂

Математическая задача о диете состоит в отыскании значений неизвестных x₁, x₂, удовлетворяющих условиям:

и f = s₁x₁ + s₂x₂  min

Задача об использовании ресурсов. Пусть ресурсы трех видов R₁, R₂, R₃ имеются в количествах соответственно b₁,b₂,b₃ в у.е.

Т₁,Т₂ – выпускаемые предприятием товары.

a_ij- число единиц ресурса R_i (i = 1, 2, 3), необходимое для производства единицы товара T_i (j = 1, 2).

с₁,с₂ – доход с единицы каждого вида товаров.

х₁, х₂ – количество товаров Т₁ и Т₂.

Доход предприятия f = c₁x₁ + c₂x₂.

Математическая задача об использовании ресурсов состоит в отыскании значений неизвестных x₁, x₂,

удовлетворяющих условиям:

и f = c₁x₁ + c₂x₂  max