55. Последовательность частичных сумм. Сумма ряда. Сходящиеся ряды.

Пусть дана некоторая последовательность действительных чисел а_п. Тогда сумма бесконечного числа членов этой последовательности

н азывается числовым рядом, а число а_п (n = 1,2,...) — членом ряда. Если член ряда а_п представлен в виде функции, натурального аргумента а_п= f (п), то его называют общим членом ряда. При этом сумму S_n = а₁+ а₂ +...+ а_п первых п членов ряда называют его n-ой частичной суммой. Таким образом, мы можем образовать новую последователь­ность - последовательность частичных сумм S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁+a₂+a₃, S_n =a₁+ a₂ +...+a_n . Если эта последовательность имеет конечный предел S = lim S_n при n->infimity, то числовой ряд называется сходящимся, а число S — суммой ряда. В противном случае ряд называ­ют расходящимся.

56. Свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд (l) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. Ряд

полученный отбрасыванием первых

п членов суммы (l), называется п-м остатком ряда. Таким образом, ряд (l) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

2.Если каждый член сходящегося ряда (l), сумма которого равна S, умножить на некоторое число k, то полученный ряд также сходится, и его сумма равна kS. 3. Если даны два сходящихся ряда

и

с суммами S и Т соответственно, то новый ряд полученный почленным сложением исходных рядов, также сходится, и его сумма равна S + T.

4. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, и суммы рядов одинаковы.

57. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Теорема 5.1 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Эквивалентная формулировка: Если предел общего члена ряда не равен нулю.или не сугцествует, то данный ряд расходится.

Док-во. Пусть данный ряд сходится и его сумма равна S. Для любого натурального п имеем S_n= S_n-₁ + а_п или

A_n=S_n-S_n-1

При п -> infinity обе частичные суммы S_n и S_n-1 стремятся к пределу S, поэтому из равенства следует, что

Подчеркнем еще раз, что мы установили только необходимое условие сходимости ряда, т.е. усдовие, при нарушении которого ряд не может сходиться. С помощью этого признака можно дока­зывать только расходимость ряда.

58. Числовые ряды с неотрицательными членами.

Числовой ряд называется рядом с положительными членами, если общий член ряда а_п >0 для любого n=1,2,.... Критерием сходимости для таких рядов служит ограниченность последовательности частичных сумм ряда.

При решении задач на сходимость рядов первым шагом является проверка выполнения необходимого условия сходимости, т.е.

59. Критерий сходимости числовых рядов с неотрицательными членами.

Теорема 5,2. Для того чтобы ряд с положительными члена­ми сходился, необходимо и достаточно, чтобы последователь­ность его частичных сумм была ограничена.