- •Образец титульного листа
- •1.Статика плоская произвольная система сил
- •Определение реакций опор составной конструкции
- •Определение реакций опор вала при действии пространственной произвольной системы сил
- •2.Кинематика Определение кинематических характеристик движения точки
- •2.Кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела
- •3.Плоское движение твердого тела
- •4.Сложное движение точки
- •1. Определение . По теореме о сложении скоростей имеем .
2.Кинематика Определение кинематических характеристик движения точки
Задача 1.Заданы уравнения движения точки М:
где х,у- координаты движущейся точки, см.
Установить вид траектории точки и для момента времени t=1 с найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Решение.
1. Преобразуем параметрические уравнения движения точки:
Получено уравнение окружности с центром в точке с координатами х=-2 см; у = 3 см и радиусом R = 2 см. После определения траектории имеется возможность изобразить её в декартовой системе координат (рис. 11.16) и установить положение точки М момент времени t = 1 с:
Если положение точки окажется вне траектории, следует прекратить дальнейшие расчёты и найти ошибку в предыдущих расчётах.
2. Найдём проекции скорости на оси координат:
В момент времени t = 1 с Vx= -3,628 см/с; Vy = -2,094 см/с.
3. Определим модуль скорости: В момент времени t= lc V=4,189 см/с. Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие скорости , и вектор скорости , который должен быть направлен по касательной к траектории. Если это не произошло, в расчётах допущена ошибка.
4. Найдём проекции ускорения на оси координат, учитывая, что и - сложные функции:
В момент времени t = 1 с ax= -8,014 см/с2; ay =- 5,503 см/с2.
5. Определим модуль ускорения: В момент времени t = 1с
а = 9,721 см/с2.
Покажем на рис. 11.16 в масштабе составляющие ускорения ах, ау и вектор ускорения n, который должен быть направлен в сторону вогнутости траектории.
Вычислим касательное ускорение по формуле (11.28):
Положительный знак показывает, что движение точки М ускоренное, то есть направления векторов скорости и касательного ускорения совпадают.
Определим нормальное ускорение:
Покажем на рисунке векторы τ и n,.
8.Определим радиус кривизны траектории:
Для окружности радиус кривизны траектории совпадает с радиусом окружности: ρ= R = 2 см. Результаты расчётов сведём в табл. 11.1.
Таблица 11.1
2.Кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела
Задача 2. Груз 1 (рис. 12.10), опускаясь, согласно уравнению s = 3 +15, где s - расстояние груза от места схода нити с поверхности вала в сантиметрах; t - время в секундах, приводит в движение колесо 2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.
Пренебрегая скольжением ремня по ободам колес, определить для момента времени =1 с скорость и ускорение рейки 4, угловые скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение точки А, если =30 см; =50 см - радиусы ступеней колеса 2; =40 см; =60 см - радиусы ступеней колеса 3.
Дано: ; =30 см; =50 см; =60 см.
Определить: при с.
Найдём , . Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени = = 9 . Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса , т.е. . Найдем как функцию времени:
. (а)
Так как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей (ремень нерастяжим), то , но ; .
,
поэтому
. (б)
При =1 с из (а) и (б) найдем = 0,3 рад/с; =-,25 рад/c.
Определим . Так как = , то при =1 с имеем =10 см/c.
Найдем . Продифференцируем по времени выражения (а), (б):
; . При =1с =0,5 рад/ .
Найдем . Рейка 4 движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковые ускорения. Точка D одновременно принадлежит рейке 4 и ободу колеса 3 радиуса , поэтому ; при =1с и =20 см/
Найдем ускорение точки А, используя формулу ; .
При =1с и =30 см/ ; =4,5 см/ ;
см/ .