- •Раздел 1. Осмысление математического аппарата для решения экономических задач
- •1.1. Экстремум функции нескольких переменных
- •1.2. Достаточный признак существования экстремума
- •1.3. Условный экстремум
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.5. Правила составления систем стандартных уравнений
- •1.6.2. Биквадратная функция
- •1.6.3. Кубическая функция
- •1.6.4. Обратно пропорциональная функция
- •1.6.5. Дробно-линейная функция
- •1.6.6. Дробно-рациональные функции
- •1.6.7. Степенная функция
- •1.6.7.1. Степенная функция с натуральным показателем
- •1.6.7.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем
- •1.6.7.3. Степенная функция с дробным показателем
- •1.6.8. Показательная функция
- •1.6.9. Логарифмическая функция
- •1.7. Асимптоты с привлекательными функциями для измерения экономических процессов (показателей)
- •1.8. Некоторые обобщения
- •1) Сумма квадратов отклонений
- •2) Сумма модулей отклонений
- •1.9. Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Тренировочные задачи
- •1.11. Тест к разделу 1
- •Раздел 2. Эконометрические модели
- •2.1. Измеряющие (регрессионные) модели и корреляция
- •2.1.1. Частная корреляция
- •2.2. Имитирование (интерпретация) регрессионных моделей
- •2.3. Эконометрические модели спроса
- •2.4. Эконометрические модели ценообразования
1.6.9. Логарифмическая функция
Функция, определяемая равенством
,
где а – положительное, отличное от единицы число, называется логарифмической функций. По существу логарифмическая функция обратна показательной, поэтому график ее симметричен графику показательной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
На рис. 22 показаны графики функции (пунктирная линия) и (сплошная линия), а на рис. 23 графики функций и .
Свойства логарифмической функции легко можно усмотреть из рис. 21 и 22.
Логарифмическая функция определена только для положительных чисел (0 < x < +∞), т.е. график расположен правее оси ординат.
Если а > 1, то логарифмическая функции положительна при х > 1, отрицательная при 0 < х < 1 и равна нулю при х = 1.
Рис. 22 Рис. 23
При а > 1 логарифмическая функция возрастает. Если 0 < а < 1, то она положительна при 0 < х < 1, отрицательна при х > 1, равна нулю при х = 1.
Если 0 < а < 1, то функция является убывающей, если а > 1 график функции выпуклый; если 0 < а < 1 . то график логарифмической функции вогнут.
На рис. 24,25 представлены привлекательные функции для исследования (оценки) поведения различных технико-экономических показателей, в частности спроса и предложения.
Рис. 24
Рис. 25
1.7. Асимптоты с привлекательными функциями для измерения экономических процессов (показателей)
Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Для нахождения асимптот пользуются следующими положениями:
а) если х = а кривая у = f(x) имеет бесконечный разрыв, то прямая х = а является ее вертикальной асимптотой;
б) невертикальные асимптоты кривой у = f(x), если они существуют, имеют уравнения вида у = кх + b, где к и b определяются формулами:
и .
Пример. Найти асимптоты кривых:
Решение. 1. а) при х = 3 данная кривая имеет бесконечный разрыв. Поэтому прямая х = 3 есть вертикальная асимптота;
б) далее имеем невертикальные асимптоты:
;
.
Подставляя значения к и b в уравнение у = кх + b, получим уравнение невертикальной асимптоты: у = х – 3. Других невертикальных асимптот кривая не имеет, так как при значения к и b будут те же самые. Кривая (гипербола) изображена на рис. 26.
Рис. 26
Далее на рис. 26, 27, 28, 29, 30, 31 изображены асимптоты функции ; ; ; ; ; .
Представляют интерес графики представленные на рис. 27 – 58.
Рис. 27
Рис.28 |
Рис. 29 |
Рис. 30
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 33 Рис. 34
Р ис. 35
Рис. 36 Рис.37.
Рис. 38. |
Рис. 39. |
Рис. 40. |
Рис. 41. |
Р ис.42. |
Рис. 43. |
Рис.44. |
Рис. 45. |
Рис. 46. |
Рис.47. |
Рис. 48. |
Рис. 49. |
Рис. 50. |
Рис.51. |
Рис.52. |
Рис.53. |
Рис.54. |
Рис.55 |
Рис.56. |
Рис.57. |
Рис.58. |