1.6.7. Степенная функция

Функция вида

у = х^п,

где п – любое число, называется степенной.

1.6.7.1. Степенная функция с натуральным показателем

В данном случае область ее определения является вся числовая ось.

Если п – четное число (п = 2к), то х^п – четная функция, так как (-х)^2к = х^2к.

Если п – нечетное число, т.е. п = 2к - 1, то х^п – нечетная функция, так как (-х)^{2к -1} = х^{2к - 1}.

Функция у = х^п (при любом натуральном п) является возрастающей в интервале (0, +∞).

Иллюстрация этого служат графики функции у = х² , у = х³ (рис. 11 и 12.).

Рис. 11 Рис. 12

1.6.7.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем

По определению

.

Легко убедиться, что в интервале (-∞, 0) функция возрастает, если n – четное, и убывает, если n нечетное.

И ллюстрацией также могут служить графики функций (рис. 13) и (рис. 14).

Рис. 13 Рис. 14

1.6.7.3. Степенная функция с дробным показателем

Рассмотрим функцию

,

где - несократимая дробь. Условимся, что q > 0, тогда знак дроби будет определяться знаком числителя р.

По определению, для тех х, при которых существует.

Рассмотрим два случая: а) р > 0, б) p < 0.

В первом случае имеем степенную функцию с дробным положительным показателем.

Если q четное, то функция определена на полуинтервале (0, +∞). Если же q нечетное, то функция определена на всей числовой оси, поскольку из отрицательных чисел можно извлекать корень с нечетным показателем. Например:

а) функция задана в виде . Определена только на полуинтервале (0, +∞), рис. 15;

б) функция определена на всей числовой оси (рис. 16);

в) функция определена при любом х (рис. 17), т.е. интервал симметричен относительно нуля;

г) функция (рис. 18).

Рис. 15 Рис. 16

Рис. 17 Рис. 18

Рис. 19 (с различными положительными показателями)

Рис. 20 (с отрицательными показателями)

Пусть теперь р < 0. Получим степенную функцию с дробным отрицательным показателем. Функция , где р и q- натуральные числа.

.

Поскольку функция возрастает в интервале (0, + ∞), то функция убывает на этом же интервале.

На рис. 19 показаны графики степенных функция с различными положительными показателями, а на рис. 20 с отрицательными показателями. На обоих рисунках графики построены для х > 10.

1.6.8. Показательная функция

у = а^х, где а – положительное число, отличное от единицы. Свойства:

а) показательная функция определена на всей числовой оси;

б) показательная функция положительна при любом значении х, т.е. ее график расположен в верхней полуплоскости;

в) если х = 0, то у = а⁰ = 1, т.е. график функции пересекает ось ординат в точке (0, 1);

г) если а > 0, то у = а^х > 1 при положительных значениях х и у = а^х < 1 при отрицательных значениях х;

д) если а > 1, то функция возрастает;

е) если 0 ≤ а ≤ 1, то у = а^х < 1 при положительных значениях х и у = ах > 1 при отрицательных значениях х;

ж) если 0 < а < 1, то показательная функция убывает.

Перечисленные свойства видны из графика (рис. 21).

Рис. 21

Легко убедиться в том, что графики функций а^х и симметричны относительно оси ординат.

График функции . Чтобы построить график функции , надо построить график функции у = а^х , а затем произвести растяжение в (р) раз вдоль оси абсцисс. Поскольку

,

то можно сразу построить график функции с основанием . Это значит, что растяжение показательной функции в (р) раз вдоль оси абсцисс равно сильно переходу от графика показательной функции с основанием а к графику показательной функции с основанием .

График функции у = а^х-с. Чтобы построить график функции

у = а^х-с,

где с – постоянная величина, надо сначала построить график функции у = а^х, а затем произвести перемещение вдоль оси абсцисс на отрезок, равный с. Но так как

,

то можно построить сначала график функции у = а^х, а затем произвести растяжение этого графика вдоль оси ординат в раз.

Таким образом, перемещение графика функции у = а^х вдоль оси абсцисс на отрезок (с) равносильно его растяжению вдоль оси ординат в раз.

График функции у = а^х ∙ b^x. Построим произведение графиков функций , . Имеем

у = у₁ ∙ у₂ = а^xb^x = (аb)^x.

Таким образом, чтобы построить произведение графиков показательных функций с различными основаниями, достаточно построить график функции при основании, равном произведению их оснований.