- •Раздел 1. Осмысление математического аппарата для решения экономических задач
- •1.1. Экстремум функции нескольких переменных
- •1.2. Достаточный признак существования экстремума
- •1.3. Условный экстремум
- •1.4. Метод наименьших квадратов
- •1.5. Правила составления систем стандартных уравнений
- •1.6.2. Биквадратная функция
- •1.6.3. Кубическая функция
- •1.6.4. Обратно пропорциональная функция
- •1.6.5. Дробно-линейная функция
- •1.6.6. Дробно-рациональные функции
- •1.6.7. Степенная функция
- •1.6.7.1. Степенная функция с натуральным показателем
- •1.6.7.2. Степенная функция с целым отрицательным показателем
- •1.6.7.3. Степенная функция с дробным показателем
- •1.6.8. Показательная функция
- •1.6.9. Логарифмическая функция
- •1.7. Асимптоты с привлекательными функциями для измерения экономических процессов (показателей)
- •1.8. Некоторые обобщения
- •1) Сумма квадратов отклонений
- •2) Сумма модулей отклонений
- •1.9. Вопросы для самоконтроля
- •1.10. Тренировочные задачи
- •1.11. Тест к разделу 1
- •Раздел 2. Эконометрические модели
- •2.1. Измеряющие (регрессионные) модели и корреляция
- •2.1.1. Частная корреляция
- •2.2. Имитирование (интерпретация) регрессионных моделей
- •2.3. Эконометрические модели спроса
- •2.4. Эконометрические модели ценообразования
1.6.4. Обратно пропорциональная функция
При оценке технико-экономических показателей особый интерес представляют функции обратно пропорциональной зависимости.
Функция, заданная равенством
,
называется обратно пропорциональной. Графики представлены на рис. 6а, 6б, 6в.
Рис. 6 а Рис. 6б
Рис. 6в
К семейству обратно пропорциональных функций относятся:
и другие.
Данные типы функции наиболее привлекательными являются для оценки зависимости между спросом и насыщенностью потребительского рынка, между спросом и рентабельностью производства и т.д.
1.6.5. Дробно-линейная функция
Дробно-линейной функцией называется функция, заданная равенством:
,
где числитель и знаменатель — линейные функции.
Преобразуем заданную функцию.
Из последнего следует, что график дробно-линейной функции — представляет собой гиперболу с асимптотами и
Пример. Построить график функции
Преобразуем данное уравнение:
Таким образом, для построения графика данной функции надо построить график функции , а затем сдвинуть его вверх вдоль оси ординат на три единицы (рис. 7).
Рис. 7
1.6.6. Дробно-рациональные функции
Для оценки технико-экономических показателей также может применяться дробно-рациональные функции. Рассмотренная выше функция является частным случаем дробно-рациональной функции.
Дробно-рациональная функция имеет вид:
Пример 1. Предположим, имеется функция следующего вида:
После преобразования получим:
Из этого следует, что прямые х = 1, х = 2 являются двусторонними (вертикальными) асимптотами графика.
Теперь определим точки максимума и минимума. Предположим, что
или
следовательно:
Чтобы прямая у = а пересекла график в двух совпадающих точках, необходимо, чтобы
а2 + 6а + 1 = 0
Следовательно:
Это и есть два экстремальных значения функции. Соответствующие им значения аргумента получаем из равенства
Следовательно:
Таким образом, функция имеет максимум, при минимум при График функции представлен на рис. 8.
Рис. 8
Пример 2. Исследовать и построить график функции:
х2 + 1 > 0 при любом х, функция определена на всей числовой оси. Если х = 0, то у = 1, следовательно, график пересекает ось ординат в точке (0,1).
Если х = -1, то у = 0. т.е. график пересекает ось абсцисс в точке -1.
Теперь найдем экстремальные значения функции. Для этого следовало бы найти точки пересечения данной кривой с прямой у = а.
ах2 – х – 1 + а = 0
Следовательно,
Далее, путем приравнивания к нулю дискриминанта определим экстремальные значения функции:
1+ 4а - 4а2 = 0
.
Итак, ,
Точка есть точка максимума, а точка - минимума.
Для уточнения графика определим еще несколько точек. Если х = 1, то у = 1, если х = 2, то у = 0,6; если х = -2, то График изображен на рис. 9.
Рис. 9
Пример 3. Исследовать и построить график функции
Область определения функции состоит из двух интервалов: (-∞, 1) и (1, + ∞). Это значит, что график функции состоит из двух ветвей:
.
Найдем точки экстремума. Для этого полагаем, что , следовательно:
Затем, приравнивая дискриминант нулю, получим экстремальные значения функции:
.
Следовательно, .
Таким образом, функция имеет минимум в точке , равной , максимум в точке , равной .
График функции изображен на рис. 10.
Рис. 10