- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
8.2. Модель механического континуума
В модели механического континуума предполагается ограничение механического смещения атомов вблизи интерфейса. В работе Рихтера предложена следующая модель пространственного ограничения фононов, смысл которой понятен из рис. 79.
Волновая функция фонона с волновым вектором q0 в бесконечном кристалле имеет вид функции Блоха:
ф(qo,r)=u(qo,r) exp i (qo,r),
где u(qo,r) имеет периодичность решётки.
Рис. 79. Схематическое изображение локализованного фонона и граничных условий для смещений u(r) и потенциала ф(r) в модели механического континуума.
Если фонон ограничен сферой диаметра R, волновую функцию фонона можно представить в виде:
Ψ (qo,r)=W (r,R)ф(qo,r) = Ψ´ (qo,r) u(qo,r) ,
Ψ´ (qo,r)=W (r,R) exp i (qo,r),
где функция W (r,R) описывает конфайнмент и может быть выбрана различными способами. Волновую функцию Ψ´ (qo,r) ограниченного фонона можно выразить через интеграл Фурье
Ψ´ (qo,r)=∫ C(qo,q) exp i (qo,r) d3q,
где Фурье-коэффициенты C(qo,q) даются обратным преобразованием Фурье, т. е. выражением
Таким образом, волновая функция ограниченного фонона является результатом суперпозиции плоских волн с волновыми векторами q вблизи q0. Следовательно, в колебательном спектре должны присутствовать частоты с различными волновыми векторами, а спектральная линия будет образована суперпозицией гармоник. Для описания каждой гармоники удобнее всего взять лоренцево распределение, так как это наиболее простой и удобный способ, позволяющий учесть затухание фонона. Тогда форма линии, наблюдаемой в спектре комбинационного рассеяния, будет складываться из лоренцианов с центрами на частотах (q) с весовыми множителями, которые задаются типом локализации фонона:
,
где (q) – дисперсионная зависимость фонона, Г0 – действительная ширина линии, а интегрирование ведётся по всей зоне Бриллюэна. Имеются физические предпосылки для использования в качестве аподизирующей функции использовать гауссиан, так как он в какой то мере отражает распределение наночастиц по размерам. В таком случае для гауссова распределения W (r,R) = exp[– (ar2/R2)], получаем │C(0,q)│2= exp[– (q2R2/4)], (значение коэффициента a = 4π2 получено при анализе контуров рамановских линий для ряда нанокристаллических полупроводников).
Тогда в приближении сферической зоны Бриллюэна
.
Множитель 4 q2 появляется после интегрирования по углам, т. е. является следствием приближения сферической зоны Бриллюэна. Построение спектральной линии, а также вклад отдельных гармоник помогает понять рис. 80.
Рис. 80. Вклад внутризонных колебательных мод в спектральную линию колебаний нанокристалла. Данный рисунок состоит из двух зависимостей, объединенных по оси частот. Первая из них (в левой части) образована горизонтальной шкалой интенсивностей и вертикальной школой частот; на ней изображена спектральная линия – результат суммирования отдельных мод в соответствии с весами. Спектральная линия образована суперпозицией отдельных гармоник, суммирование которых производится в соответствии с весовыми множителями. Вторая часть рисунка образована горизонтальной шкалой волновых векторов и общей вертикальной шкалой частот. На ней построена весовая функция, позволяющая увидеть вклад каждой гармоники, и дисперсионная зависимость оптической ветви. На рисунке под цифрой 1 показана зависимость, стоящая в числителе подынтегрального выражения и определяющая мощность отдельных гармоник, т. е. является огибающей весовых множителей. Под цифрой 2 изображена дисперсионная зависимость ω=ω0+ω/2cos[(π/aN)pa], оптической фононной ветви с шириной 2ω, которая является следствием модели, выбранной для описания колебаний. Вертикальные линии соответствуют дискретным значениям волнового вектора q=(π/aN)p, горизонтальные – возможным частотам колебаний.
В случае кристалла малых размеров волновой вектор принимает ряд дискретных значений, и интеграл заменяется суммой. В колебательном спектре можно ожидать ряд линий на дискретных частотах, определяемых дисперсией соответствующей оптической ветви. Вид спектральной линии в этом случае зависит от размеров нанокристалла. На рис. 81 показана зависимость формы линии от размеров нанокристалла и величины затухания для одномерной модели (цепочка атомов).
Рис. 81. Контур спектральной линии в зависимости от размеров модели нанокристалла (слева) и величины затухания ω0.(справа) Размеры цепочки варьируются от 5-ти элементарных ячеек (сплошная линия) до 9 (прерывистая линия), т. е. N=5,7,9. При этом величина затухания составляет ω0 =5 см–1. Величина затухания (правый рисунок) принимает значения от ω0=3см–1 (прерывистая линия) до ω0=5см–1 (сплошная линия), т. е. ω 0 = 3,4,5 см–1. В этом случае размер цепочки составляет 5 элементарных ячеек.