- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
Решение стационарного уравнения Шредингера
с таким гамильтонианом переводит его в стандартное дифференциальное уравнение, а именно в уравнение Эрмита. Требование физической реальности – убывание волновой функции на бесконечности, т.е. условие, чтобы квадраты волновых функций были бы интегрируемыми (условие нормировки), – приводит к тому, что энергетические уровни квантового осциллятора принимают только некоторые дискретные значения:
,
где V – колебательное квантовое число. Основное состояние имеет энергию ћ/2 и называется нулевой энергией осциллятора, а энергетические уровни представляют собой эквидистантные уровни энергии. Волновые функции состояний с квантовым числом V выражаются через полиномы Чебышева-Эрмита и имеют вид:
,
где HV [x(m/ћ)1/2] – полиномы Эрмита. Вид первых нескольких эквидистантных уровней и волновых функций этих возбужденных состояний показаны на рис. 42.
Из этих выражений ясно, что энергия осциллятора равномерно распределена по уровням, и он может принимать энергию только в количестве, кратном ћ. Степень вырождения каждого состояния линейного гармонического осциллятора равна единице.
Гармонический осциллятор в трехмерном пространстве можно представить как совокупность трех линейных гармонических осцилляторов с энергией, зависящей от трех квантовых чисел n1, n2, n3
En1+En2+En3= ћ (n1+n2+n+3/2) = ћ (n+3/2).
Здесь n=n1+n2+n3. Поскольку есть много возможностей выбрать три целых числа n1, n2, n3 так, чтобы получить данное целое число n, то уровни энергии трехмерного осциллятора вырождены. Например, для первого возбужденного состояния с n=1 можно выбрать три варианта: n1=1, n2=n3=0, или n2=1, n1=n3=0 или n3=1, n1=n2=0. Эти три различных колебательных состояния отвечают движению вдоль направлений x,y,z и соответственно имеют одну и ту же энергию. Для более высоких возбужденных состояний имеется еще больше комбинаций из трех чисел, сумма которых определяет энергию данного уровня. Поэтому при суммировании по состояниям нужно вводить соответствующий весовой множитель g, который учитывает это обстоятельство и называется кратностью вырождения состояния. Легко можно найти всевозможные комбинации трех чисел, составляющие в сумме заданное число и в общем случае. Очевидно, имеется n+1 возможность выбора первого числа, скажем r(=0,1...,n); второе число можно выбрать между 0 и n–r, следовательно, для него имеется n–r+1 возможность; третье квантовое число определится уже точно. Поэтому степень вырождения g уровня с квантовым числом n равна
.
Кратность вырождения состояний трехмерного осциллятора для первых нескольких уровней равна 1, 3, 6, 10, 15, 21….. . Кристалл, содержащий s атомов в элементарной ячейке и имеющий N элементарных ячеек, можно рассматривать как совокупность 3sN линейных осцилляторов, а не как sN трехмерных осцилляторов, поскольку уравнения движения этих осцилляторов полностью разделяются.
Квант энергии колебаний кристаллической решетки – фонон – отличается величиной энергии ћj(к), волновым вектора k, а, значит, импульсом ћk, и номером ветви j. Число колебательных ветвей равно 3s, число различных значений волнового вектора k – N, так что в кристалле может существовать 3sN различных фононов. В гармоническом приближении фононы по многим свойствам ведут себя подобно идеальному газу. Все они движутся независимо друг от друга и не взаимодействуют друг с другом. Поэтому кристалл можно рассматривать как сосуд, а фононы – как точечные частицы в k-пространстве. Отличие подобной системы от идеального газа заключается лишь в том, что число фононов, вообще говоря, не сохраняется. При повышении температуры, когда кристалл получает тепловую энергию, появляются новые фононы, а при охлаждении число фононов уменьшается.
Фононы – частицы без спина и поэтому подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Действительно, относительная вероятность найти систему (осциллятор) при температуре T в состоянии с энергией Ej равна Wj=gjexp(–Ej/kT), где gj – степень вырождения состояния j. Поскольку полная вероятность найти систему в любом из возможных состояний равна единице, то абсолютная вероятность pj найти ее в состоянии с энергией Ej, равна:
.
Тогда среднее значение энергии E системы с набором стационарных состояний Ej можно вычислить следующим образом – просуммировать слагаемые произведения Ej pj:
.
Здесь суммирование ведется по всем состояниям системы от j=1 до j=. Для гармонического осциллятора с энергией En=ћ(n+1/2) это выражение можно записать следующим образом:
.
Поэтому среднее значение энергии осциллятора при температуре T равно энергии нулевых колебаний плюс величине кванта ћ, домноженного на величину n=1/[exp(ћ/kT)–1], называемую фактором Бозе-Эйнштейна, который показывает среднее число фононов ћ в кристалле при температуре Т. При низких температурах, когда kT<<ћ, число фононов n(Т) exp(–ћ/kT), т.е. растет экспоненциально с увеличением температуры. В то же время при высоких температурах, когда kT>>ћ, число фононов в кристалле n(T) kT/ћ и изменяется пропорционально температуре T. Поэтому увеличение тепловой энергии в кристалле можно рассматривать как процесс рождения новых фононов. С другой стороны, если кристалл охлаждается и отдает энергию, это означает, что фононы уничтожаются или аннигилируют.