- •Санкт-петербургский государственный университет физический факультет
- •С.В.Карпов фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •Санкт-Петербургский государственный университет
- •Фононы в кристаллах и гетероструктурах
- •1. Симметрия кристаллов
- •1.1. Кристаллическая решетка
- •1.2. Элементы симметрии кристалла
- •Типы плоскостей скольжения
- •1.3. Сингонии и кристаллические классы
- •Кристаллические системы – сингонии
- •1 Тип решетки Браве
- •1 Тип кристаллического класса
- •1 Тип выбора частичной трансляции r для каждой операции группы r
- •Распределение кристаллических классов по сингониям
- •1.4. Классификация возбуждений в кристаллах
- •Неприводимые представления группы трансляций
- •1.5. Классификация возбуждений для фактор-группы
- •2. Ристаллический периодический потенциал
- •2.1. Общая модель твердого тела. Гамильтониан
- •2.2. Адиабатическое приближение
- •3. Зонные состояния периодических систем
- •3.1. Линейная моноатомная цепочка
- •Постановка решения в виде функции Блоха
- •3.2. Дисперсионные соотношения (закон дисперсии)
- •Двухпроводная электрическая линия
- •2. Акустические колебания в системе резонаторов
- •3. Связанные маятники
- •Электромагнитные волны в атмосфере
- •5. Многоатомная линейная цепочка
- •Однородный упругий стержень и стержень с периодической плотностью
- •Волны де-Бройля
- •3.3. Уравнение Матье и зонная структура
- •3.4. Фазовая и групповая скорость волн в диспергирующей среде
- •4. Фононы в идеальных кристаллах
- •4.1. Линейная двухатомная цепочка
- •4.2. Колебания трехмерной решетки
- •4.3. Обратная решетка и зона Бриллюэна
- •4.4. Ход ветвей колебаний в зоне
- •4.5. Расчеты колебаний кристаллов
- •Как известно, коэффициенты Lkl являются элементами матрицы, для которой выполнено:
- •4.6. Функция распределения плотности частот
- •Особенности функции g(), обусловленные различными критическими точками
- •5. Полярные колебания в кристаллах
- •5.1. Продольные и поперечные акустические колебания
- •Поэтому:
- •5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
- •5.3. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера
- •Отсюда следует, что
- •5.4. Реальные состояния. Эффект "запаздывания". Поляритон
- •Первые два уравнения, как известно, дают
- •6. Квантовомеханическое представление колебаний
- •6.1. Нормальные колебания.
- •6.2. Фононы
- •6.3. Гармонический осциллятор
- •Решение стационарного уравнения Шредингера
- •6.4. Операторы рождения и уничтожения фононов
- •6.5. Ангармонический осциллятор и кристалл
- •6.6. Фонон-фононные взаимодействия
- •7.1. Низкоразмерные 3d, 2d, 1d, 0d системы
- •7.2. Фононы в объемных и ограниченных структурах
- •7.3. Размерно-ограниченные кристаллические среды.
- •7.4. Приближение упругого континуума.
- •7.5. Рамановское рассеяние на сложенных акустических фононах (folding phonons)
- •7.6. Приближение механического континуума.
- •7.7. Рамановское рассеяние на квантованных оптических фононах
- •7.8. Приближение диэлектрического континуума
- •7.9. Рамановское рассеяние на интерфейсных модах
- •8.1. Модель упругого континуума. Лэмбовская мода
- •8.2. Модель механического континуума
- •8.3. Модель диэлектрического континуума
- •8.4. Расчеты колебательных спектров нанокристаллов
- •Оглавление
- •I. Симметрия и структура кристаллов
- •II. Кристаллический периодический потенциал
- •III. Зонные состояния периодических систем
5.2. Поперечные и продольные оптические колебания
Оптические колебания при k0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения mkAk=0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k=0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m+ и m– , приведенная масса равна = m+m–/m++m– , а величина /V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут w:
,
где u+ и u– смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов w в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что w=wt+wl. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн Wt=Wt1+Wt2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы.
При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещенияw и поляризации P:
Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; bij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k 0, т.е. для длин волн возбуждений >>a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b11W – упругая механическая сила; член b12Е – электрическая сила (сила Кулона ), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k 0.
Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:
Подстановка этих решений в систему уравнений дает:
.
Из первого уравнения следует:
.
Поскольку D=E+4P=E, то
.
Из соображений размерности величина –b11=о2 представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды (т.е. ). Таким образом, –b11=ТО2.
Для очень высоких частот, когда >>TO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и = = n2. Поэтому
.
При низких частотах, когда <<TO , поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная =о и
.
Используя выражение для b12b21, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом:
Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис. 37).
Рис. 37. Диэлектрическая проницаемость () и коэффициент отражения R() кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте TO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая).
Она хорошо описывает поведение в широкой области частот. Исключением является только область TO, поскольку при =TO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности . Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения w выглядит так:
.
Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости:
Комплексность означает поглощение энергии при TO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: o=5.62, =2.25=n2; для воды Н2О: о=81, =n2=1.3222.