4. Пример решения задачи

4.1. Требуется найти оптимальный план запуска изделий в производство, исходя из следующих условий.

Номенклатура продукции Q = 2: j = 1 (поршни); j = 2 (втулки).

Число передаточных партий (условных изделий): Р₁ = 2; Р₂ = 2; или по номерам JPj : 11; 12; 21; 22.

Механическая обработка включает три рабочих места, располагаемых по ходу технологического процесса: l = 1; l = 2; l = 3, т.е. L = 3.

Фактическая трудоемкость обработки одного условного изделия t_jl

t₁₁ = 50 ч.; t₁₂ = 40 ч.; t₁₃ = 10 ч.

t₂₁ = 10 ч.; t₂₂ = 40 ч.; t₂₃ = 50 ч.

Приоритетность выпуска – (j = 1) – 0,8; (j = 2) – 0,2.

Удельная стоимость пролеживания изделий С

С_1(1-2) = 60 руб/ч; С_1(2-3) = 80 руб/ч;

С_2(1-2) = 80 руб/ч; С_2(2-3) = 100 руб/ч.

Потери от простоев рабочих мест S₁ : S₂ = 80 руб/ч, S₃ = 120 руб/ч.

Приоритетность целевых функций в порядке равномерного убывания от 1,0 до 0,2; вариант 1: 6-7-8-9-1-2-3-4-5; вариант 2: 1-9.

Дополнительные ограничения отсутствуют.

4.2. Составляем возможные комбинации (варианты) запуска изделий в производство. Число этих комбинаций соответствует числу возможных перестановок с повторяющимися элементами (Р).

Известно, что

(14)

где Р – число перестановок с повторяющимися элементами;

n₁…n_к – число элементов каждого вида.

Так как в нашем случае n = N^усл, а n₁ = 2 и n₂ = 2, то

т.е. общее число возможных вариантов запуска изделий в производство равно 6, или, другими словами, множество {JPj} включает 6 элементов.

4.3. Процедура построения графиков и последующих расчетов для всех вариантов одинакова. На рис. 1 показаны графики производственных процессов по всем 6 возможным вариантам запуска (JPj):

(JPj)₁ = 11; 12; 21; 22

(JPj)₂ = 11; 21; 12; 22

(JPj)₃ = 11; 21; 22; 12

(JPj)₄ = 21; 22; 11; 12

(JPj)₅ = 21; 11; 22; 12

(JPj)₆ = 21; 11; 12; 22

На рис. 1 представлены графики сочетания операций этих вариантов запуска изделий в производство. Построение графиков осуществляется в следующей последовательности.

4.3.1. В левой части графика до начала временной оси изображается схема построения графика, т.е. указываются номера видов изделий и номера станков. Возможны следующие схемы построения:

1. в последовательности номеров видов изделий (j=1; j=2 и т.д.) – варианты 1, 2, 3 на рис. 1;

2. начиная с номера вида изделия, первым запускаемым в обработку – варианты 4, 5, 6 на рис. 1;

3. в последовательности номеров передаточных партий JPj – вариант 7 на рис. 1;

4. по номерам станков – вариант 8 на рис. 1

5. по другому условию.

4.3.2. Выбирается масштаб временной оси (оси абсцисс), производится ее разметка и строится график сочетания операций для условного изделия (передаточной партии), первым запускаемым в производство.

В нашем примере это изделие 11 в вариантах 1-3 и изделие 21 в вариантах 4-6. Построение ведется как при обычном последовательном методе сочетания операций, т.е. без всяких перерывов от первой до последней операции.

Варианты 7 и 8 представляют повтор варианта 6 по другим схемам построения графика (см. п. 4.3.1).

4.3.3. Момент окончания обработки условного изделия на первом рабочем месте является одновременно и моментом начала обработки на этом рабочем месте следующего условного изделия в порядке, установленном вариантом запуска. В нашем случае это изделие 12 в первом варианте, изделие 22 во втором и изделие 11 в третьем варианте. При построении графика для остальных условных изделий (кроме первого) возможны три случая:

а) изделие передается на следующее рабочее место, на котором уже закончилась обработка предыдущего изделия. В этом случае межоперационное время будет равно 0;

б) изделие Х можно передавать на следующую операцию, но на этом рабочем месте производится обработка предыдущего изделия. Промежуток времени от точки Б до точки А соответствует пролеживанию изделия Х. Например, время от точки А отрезка t₂₂₁ до точки Б отрезка t₂₂₂ на графике (JPj)₂ – это пролеживание изделия 22 между операциями 1 и 2;

в) на рабочем месте l закончилась обработка изделия Х-1, но изделие Х еще обрабатывается на предыдущем рабочем месте l-1. Промежуток времени от точки Б для изделия Х до точки А для изделия Х-1 соответствует простою рабочего места l. Например, время от точки А отрезка t₂₁₂ до точки Б отрезка t₁₁₂ на графике (JPj)₃ – это простой рабочего места l=2.

Рис. 1. Графики сочетания операций в производственном процессе изготовления поршней (j=1) и втулок (j=2) по трем вариантам запуска изделий в производство.

4.4. На основании графиков рис. 1 по форме табл. 1 составляем табл. 3.

Таблица 3

Значения переменных целевых функций Ф₁ – Ф₉

Наименование переменных	Численные значения переменных по вариантам R
	1	2	3	4	5	6
1. Общая продолжительность производственного цикла Тц, ч	280	260	240	180	200	240
2. Продолжительность производственного цикла по видам изделий Тj, ч	150*; 180	190*; 210	240*; 180	160*; 150	190*; 190	140*; 240
3. Продолжительность производственного цикла условного изделия Тjp, ч	100; 100 130; 170	100; 130 130; 150	100;170 130;170	140;110 100;140	100; 130 100; 130	100; 100 100; 130
4. Время пролеживания условных изделий Тjp (l, l+1)	- ; - - ; - 30 ; - 60 ; 10	- ; - 20 ; 10 30 ; - 50 ; -	- ; - 50 ; 20 30 ; - 60 ; 10	20 ; 20 10 ; - - ; - 30 ; 10	- ; - 20 ; 10 - ; - 30 ; -	- ; - - ; - - ; - 30 ; -
5. Время простоев рабочих мест	10 ; 70	- ; 50	- ; 30	- ; 10	10 ; 30	20 ; 70

4.5. Приступаем к определению частных критериев оптимальности, которые будем заносить в заранее подготовленную (по форме табл. 2) матрицу (Ф_i х r) (строки 1 табл. 4). Звездочкой в соответствующей клетке матрицы Ф_i х r отмечаем оптимальный по частному критерию вариант.

Ф₁ r : Ф₁ = Т_ц – значение Т_ц найдены ранее (строка 1 табл. 3);

Ф₂ r – значение Ф₂ находим по формуле (3), где для нашего случая Q = 2, а Т_j принимаются по строке 2 табл. 3;

Ф₃ r – согласно формуле (6) значения Ф₃ соответствуют повариантным длительностям производственного цикла видов изделий j, имеющего наивысший приоритет, т.е. в нашем случае для изделий j = 1. Таким образом, значения Ф₃ можно брать непосредственно из строки 2 табл. 3 для j = 1;

Ф₃ r – значения Ф₄ рассчитываются по формуле (7),

где ,

а Т_JPj уже определены нами (строка 3 табл. 3);

Ф₅ r – в соответствии с формулой (8) значения Ф₅ находится путем сопоставления длительностей обработки всех условных изделий, т.е. выбора повариантного maх из времени обработки условных изделий Т_JPj, представленных в строке 3 табл. 3;

Ф₆ r – значения Ф₆ рассчитываются по формуле (9), где Т_JPj(l,l+1) найдены нами ранее по графикам рис. 1 (строка 4 табл.3);

Ф₇ r – значения Ф₇ рассчитываются по формуле (10), где С_j(l,l+1) даны в условиях задачи, а Т_JPj(l,l+1) в строке Ф₆ r:

Ф₇₁ = 0+0+80(30+60)+100*10 = 8200 руб.

Ф₇₂ = 60*20+80*10+80(30+50) = 8400 руб.

Ф₇₃ = 60*50+80*20+80*90+100*10 = 12800 руб.

Ф₇₄ = 60(20+10)+80*20+80*30+100*10 = 6800 руб.

Ф₇₅ = 60*20+80*10+0+80*30 = 4400 руб.

Ф₇₆ = 80*30 = 2400 руб.

Ф₈ r – значения Ф₈ могут быть определены по формуле (11) на основе данных строки 5 табл. 3 простым суммированием времени простоев рабочих мест ;

Ф₉ r – значения Ф₉ рассчитываются по формуле (12), где S_l даны в условиях задачи, а , берется из строки 5 табл. 3:

Ф₉₁ = 80*10+120*70 = 9200 руб.

Ф₉₂ = 0+120*50 = 6000 руб.

Ф₉₃ = 0+120*30 = 3600 руб.

Ф₉₄ = 0+120*10 = 1200 руб.

Ф₉₅ = 80*10+120*30 = 4400 руб.

Ф₉₆ = 80*20+120*70 = 10000 руб.

4.6. В соответствии с алгоритмом, изложенным в п. 2.4 последовательности выполнения работы, производим ранжирование вариантов по их близости к оптимальному. Ранги W_ir заносим в строку 2 табл. 4.

4.7. По формуле, приведенной в строке 3 табл. 2, рассчитываем повариантные значения корректирующих коэффициентов а_ir (с точностью до 0,1) и заносим их в строку 3 табл. 4.

4.8. По формуле (13) рассчитываем и заносим в табл. 4 повариантные значения интегрального критерия оптимальности, где W_ir и а_ir принимаем по данным табл. 4 (все промежуточные произведения γ_i W_ir a_i рассчитываем с точностью до 0,1), а приоритетность целевых функций в соответствии с заданием:

γ₆=1,0; γ₇=0,9; γ₈=0,8; γ₉=0,7; γ₁=0,6; γ₂=0,5; γ₃=0,4; γ₄=0,3; γ₅=0,2;

Вариант 1 приоритетности целевых функций:

(Ф_инт)₁ = 0,6*1*0,6+0,5*5*0,9+0,4*5*0,9+0,3*3*0,9+0,2*2*0,8+1,0*3*0,3+

+0,9*3*0,3+0,8*2*0,1+0,7*2*0,1 = 7,55

(Ф_инт)₂ = 0,6*2*0,7+0,5*2*0,8+0,43*3*0,7+0,3*2*0,9+0,2*3*0,9+1,0*2*0,3+

+0,9*2*0,3+0,8*3*0,1+0,7*3*0,1 = 5,15

(Ф_инт)₃ = 0,6*3*0,8+0,5*1*0,7+0,4*1*0,6+0,3*1*0,8+0,2*2*0,8+1,0*1*0,3+

+0,9*1*0,2+0,8*5*0,3+0,7*5*0,3 = 4,24

(Ф_инт)₄ = 0,6*6*1,0+0,5*6*1,0+0,4*4*0,9+0,3*4*0,9+0,2*4*0,9+1,0*4*0,7+

0,9*4*0,1+0,8*6*1,0+0,7*6*1,0 = 21,0

(Ф_инт)₅ = 0,6*5*0,9+0,5*3*0,8+0,4*3*0,7+0,3*5*0,9+0,2*6*1,0+1,0*5*0,5+

+0,9*5*0,5+0,8*4*0,3+0,7*4*0,3 = 13,80

(Ф_инт)₆ = 0,6*4*0,8+0,5*4*0,9+0,4*6*1,0+0,3*6*1,0+0,2*6*1,0+0,2*6*1,0+

+1,0*6*1,0+0,9*6*1,0+0,8*1*0,1+0,7*1*0,1 = 22,0

Вариант 2 приоритетности целевых функций:

(Ф_инт)₁ = 0,1*1*0,6+0,9*5*0,9+0,8*5*0,9+0,7*3*0,9+0,6*2*0,8+0,5*3*0,3+

+0,4*3*0,3+0,3*3*0,3+0,2*2*0,1+0,2*2*0,1 = 11,1

(Ф_инт)₂ = 1,0*2*0,7+0,9*2*0,8+0,8*3*0,7+0,7*2*0,9+0,6*3*0,9+0,5*2*0,3+

+0,4*2*0,3+0,3*2*0,3+0,2*3*0,1+0,2*3*0,1 = 8,24

(Ф_инт)₃ = 1,0*3*0,8+0,9*1*0,7+0,8*1*0,6+0,7*1*0,8+0,6*2*0,8+0,5*1*0,3+

+0,4*..*0,2+0,3*1*0,2+0,2*5*0,3+0,2*5*0,3 = 7,27

(Ф_инт)₄ = 1,0*6*1,0+0,9*6*1,0+0,8*4*0,9+0,7*4*0,9+0,6*4*0,9+0,5*4*0,7+

+0,4*4*0,1+0,3*4*0,1+0,2*6*1,0+0,2*6*1,0 = 23,04

(Ф_инт)₅ = 1,0*5*0,9+0,9*3*0,8+0,8*3*0,7+0,7*5*0,9+0,6*6*1,0+0,5*5*0,5+

+0,4*5*0,5+0,3*5*0,5+0,2*4*0,3+0,2*5*0,9 = 19,23

(Ф_инт)₆ = 1,0*4*0,8+0,9*4*0,9+0,8*6*1,0+0,7*6*1,0+1,6*6*1,0+0,5*6*1,0+

+0,4*6*1,0+0,3*6*1,0+0,2*1*0,1+0,2*1*0,1 = 26,28

Таблица 4

Итоговые результаты расчетов критериев оптимальности

Наименование показателя	Значение показателей по вариантам
	r = 1	r = 2	r = 3	r = 4	r = 5	r=R=6
1. Матрица частных критериев оптимальности (Фir):
Ф1	280	260	240	180*	200	240
Ф2	165	200	210	155*	190	170
Ф3	150	190	240	160	190	140*
Ф4	125	127,5	142,5	122,5	115	107,5*
Ф5	170	150	170	140	130*	130*
Ф6	100	110	170	90	60	30*
Ф7	8200	8400	12800	6800	4400	2400*
Ф8	80	50	30	10*	40	90
Ф9	9200	6000	3600	1200*	4400	10000
2. Ранги вариантов W	1,5,5,3,2,3,3,2,2	2,2,3,2,3,2,2,3,3	3,1,1,1,2,1,1,5,5	6,6,4,4,4,4,4,6,6	5,3,3,5,6,5,5,4,4	4,4,6,6,6,6,6,1,1
3. Корректирующие коэффициенты аr	0,6;0,9;0,9 0,9;0,8;0,3 0,3;0,1;0,1	0,7;0,8;0,7 0,9;0,9;0,3 0,3;0,1;0,1	0,8;0,7;0,6 0,8;0,8;0,3 0,2;0,3;0,3	1,0;1,0;0,9 0,9;0,9;0,7 0,4;1,0;1,0	0,9;0,8;0,7 0,9;1,0;0,5 0,5;0,3;0,3	0,8;0,9;1,0 1,0;1,0;1,0 1,0;0,1;0,1
4. Интегральный критерий оптимальности Финт	7,55	5,15	4,24	21,0	13,8	22,0*

Теперь по форме табл. 5 произведем ранжирование вариантов в зависимости от суммы занятых ими мест при отсутствии приоритетности отдельных целевых функций.

Таблица 5

Итоговая таблица ранжирования вариантов по всем критериям оптимальности при одинаковой приоритетности целевых функций

Критерий оптимальности	Место варианта
	r = 1	r = 2	r = 3	r = 4	r = 5	r=R=6
Ф1	6	5	5-4	1	2	3-4
Ф2	2	5	6	1	4	3
Ф3	2	4-5	6	3	4-5	1
Ф4	4	5	6	3	2	1
Ф5	5-6	4	5-6	3	1-2	1-2
Ф6	4	5	6	3	2	1
Ф7	4	5	6	3	2	1
Ф8	5	4	2	1	3	6
Ф9	5	4	2	1	3	6
Интегральный критерий	4	5	6	2	3	1
Сумма мест	41,5	46,5	49	21	27	25
Ранжирование вариантов по сумме мест	4	5	6	1	3	2