- •Линейные пространства
- •1. Линейные пространства. Определение
- •4. Для всякого вектора
- •1.1. Задачи
- •2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
- •Примеры
- •Примеры
- •2.1. Задачи
- •3. Подпространства линейного пространства
- •Примеры
- •3.1. 3Адачи
- •4. Точечно-векторное аффинное пространство
- •4.1. Система координат в пространстве
- •4.2. Прямая и плоскость в Vn
- •4.3. Задачи
- •5. Евклидовы и унитарные пространства
- •5.1. Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств
- •5.2. Ортогональное дополнение
- •5.3. Проектирование вектора на подпространства
- •5.4. Задачи
- •Литература
- •Содержание
5.2. Ортогональное дополнение
Определение. Два множества F и G векторов евклидова пространства E называются ортогональными, если каждый вектор из F ортогонален каждому вектору из G.
Определение. Пусть F – подпространство E. Совокупность всех векторов подпространства E, ортогональных подпространству F, называется ортогональным дополнением подпространства F.
Всякое ортогональное дополнение является, в свою очередь, линейным подпространством.
Всякое произвольное евклидово пространство E разлагается в прямую сумму своего произвольного подпространства F и его ортогонального дополнения
Примеры
1. Требуется найти базис ортогонального дополнения подпространства L, натянутого на векторы
, ,
Будем считать, что базис, относительно которого заданы векторы, ортонормированный. По определению, если , то . Далее, каждый вектор из должен быть ортогонален к . Для этого достаточно, чтобы . Расписывая скалярные произведения, получим три уравнения относительно координат вектора
Совокупность решений этой системы и образует ортогональное дополнение. За базис в можно принять любую фундаментальную систему решений. Например, вектор .
2. Линейное подпространство задано уравнениями
Требуется найти уравнения, которые задают ортогональное дополнение .
Пусть , . Тогда . Этому условию удовлетворяют два линейно независимых вектора и , которые образуют коэффициенты системы уравнений, задающей F. Далее, . Ранг системы равен 2. Значит и, так как , то . Поэтому найденные векторы можно принять за базис в , и есть линейная оболочка данных векторов. Далее задача решается так же как в примере из § 3. Дословно повторяя решение, получим следующую систему уравнений
которая и задает .
5.3. Проектирование вектора на подпространства
Пусть . Тогда всякий вектор можно представить в виде , где и . Вектор называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство L, а вектор называется ортогональной составляющей вектора .
Пусть и — расстояние между векторами , тогда
Таким образом, ортогональная проекция есть ближайший к вектору подпространства L. Часто используются следующие обозначения , .
Укажем в заключение как вычисляются координаты вектора . Пусть — базис в L. Так как , то . Поэтому
Отсюда имеем, что в случае ортонормированного базиса
Примеры
1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора на линейное подпространство L, натянутое на векторы . Все векторы заданы координатами относительно ортонормированного базиса.
, , ,
Нетрудно убедиться, что и что за базис можно принять векторы и . Нам будет удобно перейти к ортонормированному базису в L. Применяя процедуру ортогонализации к векторам и , получим ортонормированный базис в L:
,
Заметьте, что векторы и линейно выражаются через и и, значит, также принадлежат L. Имеем теперь
2. Требуется найти расстояние от точки, заданной вектором до плоскости (линейного многообразия), заданной системой уравнений
Расстояние между точкой и множеством L определится следующим образом
Для вычисления расстояния удобно перейти к параметрическому уравнению плоскости. Имеем и поэтому всякий вектор представляется в виде
где — фиксированный радиус-вектор точки плоскости; и — базис направляющего линейного подпространства, которое задается соответствующей однородной системой. Решая уравнение, получим, например,
, ,
Затем
Векторы и принадлежат направляющему подпространству M плоскости L. Вектор . Так как , а , то
Правая часть этого неравенства и есть искомое расстояние. Осталось вычислить вектор и найти его норму. Проделав для этого аналогичные вычисления и вычислив длину вектора, получим, что .
3. Пусть — ортонормированная система векторов евклидова пространства En. Нужно доказать, что для любого вектора имеет место неравенство Бесселя
с равенством тогда и только тогда, когда , т.е. векторы образуют ортонормированный базис в En.
Так как — ортонормированная система, то ее всегда можно векторами достроить до ортонормированного базиса в En. Разложим вектор по этому базису. Имеем
Далее,
или
С равенством тогда и только тогда, когда . Исключение составляют случаи, когда или когда принадлежит линейной оболочке векторов .