- •Линейные пространства
- •1. Линейные пространства. Определение
- •4. Для всякого вектора
- •1.1. Задачи
- •2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
- •Примеры
- •Примеры
- •2.1. Задачи
- •3. Подпространства линейного пространства
- •Примеры
- •3.1. 3Адачи
- •4. Точечно-векторное аффинное пространство
- •4.1. Система координат в пространстве
- •4.2. Прямая и плоскость в Vn
- •4.3. Задачи
- •5. Евклидовы и унитарные пространства
- •5.1. Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств
- •5.2. Ортогональное дополнение
- •5.3. Проектирование вектора на подпространства
- •5.4. Задачи
- •Литература
- •Содержание
2.1. Задачи
1. Доказать, что если система векторов содержит нулевой вектор, то совокупность векторов линейно зависима.
2. Доказать, что если часть из векторов линейно зависима, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима.
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе:
3.
, , ,
4.
, , ,
5.
, , , ,
6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах.
, , ,
, , ,
7. Доказать линейную независимость системы функций , где – попарно различные действительные числа.
8. Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n-го порядка.
9. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса;
б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
3. Подпространства линейного пространства
Определение. Всякое подмножество L линейного пространства X, заданного над полем K, которое, в свою очередь, является линейным пространством, называется линейным подпространством.
Для того, чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
1.
2. и
Примеры
1. Рассмотрим векторы пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению
,
Покажем, что они образуют линейное подпространство в Rn. Пусть . Тогда
и для координат векторов и выполняются условия 1 и 2:
2. Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц n-го порядка. Покажем, что они образуют линейное подпространство. Пусть и симметричные матрицы. Матрицы и будут, очевидно, также симметричными, и, следовательно, данное подмножество является линейным подпространством.
Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:
Размерность всякого линейного подпространства L пространства X не превосходит размерности самого пространства.
Если в подпространстве L пространства X задан базис , то его можно всегда дополнить векторами из X так, что система образует базис пространства X.
Координаты всякого вектора k-мерному подпространству n-мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений
ранга n-k.
Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.
Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натянутой на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.
Определение. Суммой L двух подпространств L1 и L2 одного и того же пространства X называется множество векторов вида , где и . Обозначается .
Сумма линейных подпространств сама является линейным подпространством.
Определение. Пересечением L линейных подпространств L1 и L2 называется совокупность векторов, принадлежащих одновременно L1 и L2. Обозначается .
Пересечение линейных подпространств также является линейным подпространством.
Определение. Прямой суммой L двух подпространств L1 и L2 называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора. Обозначается .
Размерности суммы и пересечения подпространств L1 и L2 связаны между собой следующим соотношением
Примеры
1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами
, , , ,
Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг
Ранг матрицы равен трем. Следовательно, . Базис образуют, например, следующие линейно независимые векторы .
2. Найдем систему линейных уравнений, которая задает линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов, заданных своими координатами в некотором базисе
, ,
Для решения задачи удобно найти сначала базис в . Аналогично предыдущей задаче убеждаемся, что базис образуют векторы и , например. Некоторыми векторами и достроим базис и до базиса всего пространства . В новом базисе любой вектор из L будет иметь координаты, удовлетворяющие системе уравнений
Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат вектора относительно базиса . Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода
, ,
где – матрица перехода от к базису . Подставляя координаты векторов и , получим
Исключая и , окончательно получаем
3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения линейных подпространств L1 и L2, натянутых на векторы, заданные своими координатами:
, ,
, ,
Нетрудно убедиться, что векторы , – базис в L1, а векторы , – базис в L2. Поэтому всякий вектор из L1 , а всякий вектор из L2 . Если , то . Таким образом, это линейная оболочка векторов . Аналогично первой задаче устанавливаем, что , а базис, например, . Пусть . Тогда
Остается найти базисный вектор в М. Пусть , тогда и . Значит, существуют такие числа и , что
Получаем для значений и , которые определяют общие для L1 и L2 векторы, систему уравнений, которая в координатной форме имеет вид
Решая эту систему, получим , , , где - произвольно. Поэтому всякий вектор из М имеет вид
Вектор можно принять за базис в .