- •Линейные пространства
- •1. Линейные пространства. Определение
- •4. Для всякого вектора
- •1.1. Задачи
- •2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
- •Примеры
- •Примеры
- •2.1. Задачи
- •3. Подпространства линейного пространства
- •Примеры
- •3.1. 3Адачи
- •4. Точечно-векторное аффинное пространство
- •4.1. Система координат в пространстве
- •4.2. Прямая и плоскость в Vn
- •4.3. Задачи
- •5. Евклидовы и унитарные пространства
- •5.1. Ортонормированный базис евклидова и унитарного пространств
- •5.2. Ортогональное дополнение
- •5.3. Проектирование вектора на подпространства
- •5.4. Задачи
- •Литература
- •Содержание
3.1. 3Адачи
Доказать, что следующие системы векторов из Rn образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:
1. Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.
2. Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.
3. Все n-мерные векторы вида , где и — любые числа.
4. Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.
5. Показать, что решение системы линейных однородных уравнений с n неизвестными ранга K образуют подпространство Rn размерности .
6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства Rn на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.
7. Доказать, что пространство Rn есть прямая сумма двух линейных подпространств: L1 — заданного уравнением и L2, заданного системой уравнений .
8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами
, , , ,
9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:
, , ,
Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L1, натянутого на векторы и L2, натянутого на векторы
10.
, , ,
11.
, , , , ,
Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов и
12.
, , , , ,
13.
, , , , ,
14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства Rn, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений
Показать, что если к каждому вектору подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.
4. Точечно-векторное аффинное пространство
Определение. Пусть некоторое множество состоит из элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n-мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.
Множество называется точечно-векторным аффинным пространством, если:
1. Каждая пара точек А1 и A2, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор .
2. Для каждой точки А1, и каждого вектора существует единственная точка A2, такая, что .
3. Если и , то .
Пространство называется n-мерным, если n-мерно соответствующее линейное пространство.
Пример. Данному определению удовлетворяет, очевидно, обычное геометрическое пространство, в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек. Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки, а третья аксиома соответствует определению сложения векторов.
4.1. Система координат в пространстве
Если в пространстве Vn зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Вектор называется радиус-вектором точки А относительно точки O.
Определение. Системой координат в пространстве Vn, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса в Vn.
Координатами вектора в заданной системе координат пространства Vn называются координаты вектора относительно базиса .
Координатами точки А в данной системе ко- ординат пространства Vn называются координаты радиус-вектора точки относительно базиса.
Всякие два базиса пространства Vn и связаны между собой формулами перехода
где вектор-столбцы матриц перехода и состоят из координат векторов и соответственно в базисах и .
Если даны две системы координат O, и , , то координаты любой точки и относительно этих систем координат связаны соотношениями
,
где – координаты точки в – матрица перехода.