6.3. Замена платежей и сроков их выплат с использованием

сложной процентной ставки.

Как и в случае простых процентов, при любой замене платежей с использованием сложных процентов должен выполняться принцип финансовой эквивалентности, соблюдение которого обосновывается составлением соответствующего уравнения.

Если платеж Р₁ со сроком n₁ надо заменить платежом Р₀ со сроком n₀ при использовании сложной процентной ставки r (причем n₁ и n₀ измеряются от одного момента времени), то уравнение эквивалентности имеет вид:

если n₀ > n₁ ;

если n₀ = n₁ ;

если n₀ < n₁.

       

Эти три уравнения можно объединить в одно, так как для любых сроков n₁ и n₀ должно выполняться условие , что равносильно:

.

Отсюда можно сделать следующий вывод: для эквивалентной согласно сложной процентной ставке замены платежей необходимо, чтобы их приведенные стоимости совпадали. Причем расчет приведенных стоимостей можно осуществлять на любой момент времени, так как:

где t – произвольное вещественное число.

Таким образом, при сравнении платежей можно выбирать любой удобный или интересующий нас момент времени.

Пример. Платеж в 6 тыс. грн. и сроком уплаты через 4 года заменить платежом со сроком уплаты через: а) 2 года; б) 5 лет. Применяется сложная процентная ставка 12% годовых.

а) P₁=3, n₁= 4, n₀= 2, r = 0,12.

тыс. грн.

б) P₁ = 3, n₁ = 4, n₀ = 5, r =0,12.

тыс. грн.

Пример. Предлагается выплатить за пользование земельным участком выплатить либо 20 тыс. грн. через 5 лет, либо 30 тыс. грн. через 10 лет.

Определить, какое предложение выгоднее, если есть возможность инвестирования денежных средств под сложную процентную ставку 15% годовых.

Согласно ранее приведенной формуле можно найти приведенные стоимости платежей на любой момент времени.

Предположим, что мы выбрали в качестве момента приведения конец 10-го года. В этом случае наращенная стоимость 20 тыс. грн. через 5 лет составит: тыс. грн. Т.е. первое предложение выгоднее.

Если осуществить приведение платежей, например, к исходному моменту времени, то при учете 20 тыс. грн. за 5 лет и30 тыс. грн. за 10 лет получим соответственно:

тыс. грн. тыс. грн.

Следовательно, опять делаем вывод о предпочтительности первого предложения. Вообще такой вывод будет при выборе любого момента времени для расчета приведенных или наращенных стоимостей платежей, если используется сложная процентная ставка.

Однако, если использовать простую процентную ставку и такой же метод оценки предложений, то можно прийти к противоречивым выводам.

Так, выбирая конец 10-го года и сравнивая тыс. грн. и 30 тыс. грн. получаем, что первое предложение лучше. Однако, если выберем исходный момент времени и сравним тыс. грн. и тыс. грн. , получаем, что выгоднее второе предложение.

Если известен размер нового платежа Р₀ , а необходимо найти срок его выплаты n₀, то для этого используется следующая формула:

Пример. Определить величину нового срока, если платеж в 2 тыс. грн. через 5 лет заменяется платежом в 3 тыс. грн. и используется сложная процентная ставка 15% годовых.

P₁ = 2, n₁= 5, P₀= 3, r = 0,15.

Рассмотрим более общую ситуацию, когда платежи Р₁, Р₂, …, Р_m, выплачиваемые соответственно через время n₁, n₂, …, n_m, заменяются одним платежом P₀ выплатой через время n₀. В составляемом уравнении эквивалентности платежу P_k, будет соответствовать слагаемое т.е. при n₀ > n_k , будет иметь место наращение сложных процентов на капитал P_k , а при n₀ < n₁ капитал P_k будет учитываться.

Уравнение эквивалентности имеет вид:

или что то же самое

Если стоит задача сравнения на основании сложной процентной ставки платежа Р₀ с заменяемыми платежами, то за момент оценки можно выбирать любой произвольный момент времени.

Если известен размер консолидированного платежа, а необходимо найти новый срок его выплаты, то используется формула:

Пример. Три платежа в 3,0, 1,0 и 1,5 тыс. грн. со сроками выплаты соответственно через 1, 2,5 и 4 года заменяются одним платежом, выплачиваемым через 3 года.

Найти величину консолидированного платежа, если используется сложная процентная ставка 14% годовых.

Какой будет срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен сумме исходных платежей?

P₁=3, P₂= 1, P₃=1,5, n₁=2, n₂=2,5, n₃= 4, n₀= 3, r = 0,14.

тыс. грн.

Если же Р₀= 3 + 1 + 1,5 = 5,5 тыс. грн., то

года.

Этот же результат можно получить и иначе: считаем, что платеж 6,282 тыс. грн., выплачиваемый через 3 года, необходимо заменить платежом в 5,5 тыс. грн. Тогда новый срок рассчитывается следующим образом:

года.

Если несколько платежей заменяются одним, используется сложная процентная ставка и сложные проценты начисляются z раз, то уравнение эквивалентности имеет вид:

откуда

Пример. В условиях предыдущего примера начисление процентов осуществляется ежеквартально.

Найти величину консолидированного платежа и новый срок выплаты, если консолидированный платеж будет равен 5,5 тыс. грн.

тыс. грн.

года.

Существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, поэтому имеется большое многообразие уравнений эквивалентности. Поэтому охватить готовыми формулами все возможные варианты изменения условий финансовых сделок не представляется возможным. Однако в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется по ранее рассмотренной методике, что подтверждается приведенными примерами.

Задача замены платежей при использовании учетной ставки или непрерывных процентов рассматривается аналогичным образом, как и при использовании процентной ставки. Поэтому можно ограничиться приведением основных формул, не останавливаясь подробно на их рассмотрении.

Если платежи Р₁, Р₂, …, Р_m, выплачиваемые соответственно через время n₁, n₂,…, n_m, консолидируются в один платеж Р₀ с выплатой через время n₀ и используется номинальная годовая учетная ставка d , то уравнение эквивалентности имеет следующий вид:

Если необходимо для этих условий определить новый срок выплаты консолидированного платежа, то используется формула: