Лекция 5.
§ 5. Интерполирование по равноотстоящим узлам.
Здесь мы воспользуемся интерполяционным многочленом в форме Ньютона , преобразовав его к форме, удобной для интерполирования по равноотстоящим узлам.
Пусть даны точки x0 , x1 ,..., xn ,принадлежащие промежутку [a,b] и в них значения некоторой функции f (x) : f (x0) = y0 , f (x1) = y1 , f (x2) = y2 , ... , f (xn) = yn . Пусть нам нужно вычислить значение функции f в некоторой точке x* , не совпадающей ни с одной из точек xi . В зависимости от положения точки x* , мы будем строить многочлены для начала , конца , или середины таблицы.
Рассмотрим интерполяционный многочлен в форме Ньютона вида
Начало таблицы.
Пусть точка x*
лежит между точками x0
и x1 .
Введем новую переменную t
, положив
. Точками интерполирования будут
ближайшие к точке x*
узлы т.е. x0
, x1 , ...
, xk
.
-
x
y
y
2y
ny
x0
y0
y0
2y0
...
n y0
x1
y1
y1
2y1
...
x2
y2
y2
...
...
...
...
2yn-2
xn-1
yn-1
yn-1
xn
yn
Тогда интерполяционный полином в форме Ньютона будет иметь вид:
(5.1)
Это интерполяционный полином в форме Ньютона для начала таблицы.
О погрешности.
Конец таблицы.
Пусть точка x* лежит между точками xn-1 и xn . Тогда переменная t будет определена по правилу th=x-xn. Точками интерполирования будут точки xn , xn-1 , ... , xn-k . Интерполяционный полином будет иметь вид
(5.2)
Середина таблицы.
Пусть точка x* расположена так, что точки таблицы находятся с двух сторон от нее. В этом случае нам придется и в качестве точек интерполирования брать точки с двух сторон от нее. Пусть ближайшей к x* , является точка xi . Мы будем рассматривать точки ... xi-2 , xi-1 , xi ,
xi+1 , xi+2 , ... . Переобозначим их для удобства , т.е. ...x-2 , x-1 , x0 , x1 , x2 ... .
-
x
y
y
2y
ny
...
...
...
...
x-2
y-2
y-2
...
x-1
y-1
y-1
2y-1
...
x0
y0
y0
2y0
...
n y0
x1
y1
y1
2y1
...
x2
y2
y2
...
...
...
...
...
...
x k-1
yk-1
yk-1
x k
yk
Нам придется рассмотреть 2 случая .
а) x* лежит между x0 и x1 . В этом случае узлы интерполирования расположатся следующим образом x0 , x1 , x-1 , x2 , x-2 , ... . Положим . Интерполяционный полином будет иметь вид:
(5.3)
Эта формула называется формулой Ньютона - Гаусса для середины таблицы интерполирования вперед.
б) x* лежит между x-1 и x0 . Узлы выберем в следующей последовательности :
x0 , x-1 , x1 , x-2 , x2 , ... . Снова полагаем и получаем интерполяционный многочлен в виде:
(5.4)
Это формула Ньютона - Гаусса для середины таблицы интерполирования назад.
С помощью полусуммы этих двух формул можно получить формулу Стирлинга:
(5.5)