§ 7. Интерполирование Эрмита.
Пусть на промежутке заданы m точек . В каждой точке заданы значения функции и ее производных до порядка т.е для всех заданы . Таким образом, во всех точках будем иметь данных. Обозначим эту сумму через . Поставим следующую задачу: построить многочлен
(7.1)
степени не выше п, такой, чтобы в каждой точке выполнялись условия : (7.2)
Покажем, что такой многочлен существует и единственен.
Пусть на функция . Пусть мы построили многочлен , удовлетворяющий условиям (7.2). Условия (7.2) означают, что в каждой точке многочлен имеет с учетом кратности корней. Таким образом, этот многочлен имеет с учетом кратности всего корней. А многочлен степени п. Следовательно, . С другой стороны, условия (7.2) образуют однородную линейную алгебраическую систему относительно неизвестных , которая имеет только нулевое решение. Значит, любая неоднородная система, порожденная условиями (7.2), разрешима и ее решение единственно. Таким образом, для любой функции, имеющей все нужные производные, можно построить единственный многочлен (7.1), удовлетворяющий условиям (7.2). Этот многочлен называется многочленом Эрмита.
Рассмотрим вопрос о погрешности многочлена Эрмита. Обозначим погрешность в точке х через . Т.е.
(7.3)
Введем также обозначение
(7.4)
Теорема. Пусть имеет на непрерывную производную. Пусть все точки принадлежат промежутку и некоторая точка х, не совпадающая ни с одной из точек , тоже принадлежит промежутку . Тогда на промежутке существует точка , такая, что выполнено равенство
(7.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вспомогательную функцию
(7.6)
Эта функция в точках имеет с учетом кратностей нулей. Кроме того, в точке х она тоже обращается в 0. Таким образом, она имеет, по крайней мере, нуля на . Пусть точка х лежит между точками и . Тогда производная имеет в точках нули кратности , т.е. всего нулей. Затем по теореме Ролля имеет, по крайней мере, по одному нулю между точками и , где , и . Кроме того, на промеутке имеет, по крайней мере, 2 нуля. Таким образом, функция имеет на промежутке , по крайней мере, нуль. Продолжая эти рассуждения, получаем, что - я производная имеет на промежутке , по крайней мере, 1 нуль. Обозначим точку, в которой обращается в 0, через . Таким, образом, . Теперь непосредственно продифференцируем (7.6).
.
Подставим в правую часть этого выражения и приравняем 0. Получим .
Если имеет место оценка на , где М — некоторая положительная постоянная, то получаем оценку для погрешности интерполирования Эрмита
.
Интерполяционный многочлен Эрмита можно строить как многочлен в форме Ньютона с разностными отношениями, так как интерполирование можно Эрмита трактовать, как интерполирование с кратными узлами.
Будем считать, что узлы имеют кратности . Покажем, что в этом случае можно строить разностные отношения, используя производные. Возьмем узел кратности . Рассмотрим точки , где . При малом все эти точки будут лежать вблизи . По теореме, устанавливающей связь между разностным отношением и производной, существует точка , лежащая внутри промежутка при любом k, такая, что
.
При отрезок стягивается в точку , и . Значит, можно записать
(7.7)
Аргумент слева повторяется k + 1 раз.
Например, пусть узел имеет кратность 3, а узел — кратность 2. Можно составить таблицу разностных отношений
x1 |
f(x1) |
f(x1,x1)=f /(x1) |
f(x1,x1,x1)=f //(x1)/2 |
f(x1,x1,x1,x2) |
f(x1,x1,x1,x2,x2) |
x1 |
f(x1) |
f(x1,x1)=f /(x1) |
f(x1,x1,x2) |
f(x1,x1,x2,x2) |
|
x1 |
f(x1) |
f(x1,x2) |
f(x1,x2,x2) |
|
|
x2 |
f(x2) |
f(x2,x2)=f /(x2) |
|
|
|
x2 |
f(x2) |
|
|
|
|
Интерполяционный многочлен, построеннный с помощью зтой таблицы, будет иметь вид
, где