3.3 Дерево решений

Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи требуют анализа последовательности решений и состояний среды, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний природы порождает другое состояние подобного типа. Если имеют место два или более последовательных множества решений, причем последующие решения основываются на результатах предыдущих, и/или два или более множества состояний среды (т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого, которые соответствуют событиям, происходящим с некоторой вероятностью), используется дерево решений.

Дерево решений – это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Процесс принятия решения с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов.

Этап 1. Формулировка задачи. Прежде всего, необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информации для экспериментирования и реальных действий; составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступна информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

Этап 2. Построение дерева решений

Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо н основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.

Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.

Этап 5. Решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (EMV) для каждой вершины состояния среды.

Дерево решений для компании «Буренка» изображено на следующей схеме.

EMV для вершины 1 = (0,5)(200)+(0,5)(-180) = 10

EMV для вершины 2 = (0,5)(100)+(0,5)(-20) = 40

3.4 Ожидаемая ценность достоверной информации

Предположим, что менеджер компании «Буренка» связался с фирмой, занимающейся исследованием рынка, которая предложила ему помочь в принятии решений о том, стоит ли создавать производство навесов для хранение кормов. Исследователи рынка утверждают, что их анализ позволит установить с полной определенностью, будет ли рынок благоприятным для данного продукта. Другими словами, условия в компании меняются в зависимости от того, принимается ли решение в условиях риска или же в условиях определенности. Эта информация может предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки. Фирма, занимающаяся исследованием рынка, хотела бы получить за эту информацию 65 тыс. руб. Чтобы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли заказать проведение исследования рынка? Даже если результаты этого исследования являются совершенно точными, оправдана ли плата в 65 тыс. руб.?

Ожидаемой ценностью достоверной информацией (EVPI) назовем разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска:

EVPI = ожидаемый выигрыш в условиях определенности – максимум EMV

Для того, чтобы определить EVPI, мы должны вначале рассчитать математическое ожидание EMV в условиях определенности, которое равно ожидаемому, или среднему, доходу в случае, когда мы имеем достоверную информацию перед тем, как принять решение.

1. Лучший исход для состояния среды «благоприятный рынок» – «создать большое производство» с выигрышем 200 тыс. руб. Лучший исход для состояния среды «неблагоприятный рынок» – «ничего не делать» с выигрышем 0. Ожидаемая ценность в условиях определенности = (200)(0,5) + (0)(0,5)=100. Итак, если бы мы располагали достоверной информацией, то ожидали бы получить в среднем 100 тыс. руб.

2. Максимум EMV = 40 - ожидаемый доход без достоверной информации.

3. EVPI = ценность в условиях определенности - максимум EMV = 100 - 40 = 60.

Итак, Бычкову следовало бы платить за достоверную информацию не более 60 тыс. руб. Конечно, такой вывод основывается на предположении, что вероятность реализации каждого состояния среды равна 0,5.

Предположим, что Бычкову надо принять два решения, причем второе решение зависит от исхода первого. Прежде чем создать новое производство, Бычков имеет намерение заказать исследование рынка и заплатить за него 10 тыс. руб. Результаты этого исследования могли бы помочь решить вопрос о том, следует ли создавать большое производство, малое производство или не делать ничего. Бычков понимает, что такое обследование рынка не может дать достоверную информацию, но может, тем не менее, оказаться полезным.

На рис. 3.1 показаны возможные состояния среды и решения, а также вероятности различных результатов обследования вероятности наступления различных состояний среды.

Дерево решений имеет два типа вершин:

- решающая вершина;

- случайная вершина.

Рис. 3.1

Дерево решений Бычкова с рассчитанными EMV представлена на следующем рис. 3.2. Короткими параллельными линиями отсекается та ветвь, которая оказывается менее благоприятной по сравнению с другими и может быть отброшена.

Рис. 3.2

Ожидаемая ценность наилучшего решения в случае, если будет заказано обследование рынка, составляет 49,2 тыс. руб. Ожидаемая ценность наилучшего решения без обследования составляет 40 тыс. руб.

Пример 3.2 Компания «Молодой сыр» - небольшой производитель различных продуктов из сыра. Один из продуктов - сырная паста - продается в розницу. Вадим Ароматов, менеджер компании должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту будет 6, 7, 8 или 9 ящиков равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика 45 руб. Ароматов продает каждый ящик по цене 95 руб. Если ящик сырной пасты не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода.

1. Сколько ящиков следует производить в течение месяца?

2. Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

Решение

Пользуясь исходными данными, построим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Вычислим, например, показатель прибыли, которую получит производитель, если он произведет 8 ящиков, а спрос будет только на 7.

Каждый ящик продается по 95 руб. Компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет , а издержки производства 8 ящиков . Итого прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна: руб. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения.

В итоге получим следующую платежную матрицу. Как видно из таблицы, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 руб. Она отвечает производству 8 ящиков.

Спрос на ящики Произ-водство ящиков	6 (0,1)*	7 (0,3)	8 (0,5)	9 (0,1)	Средняя ожидаемая прибыль
6	300	300	300	300	300
7	255	350	350	350	340,5
8	210	305	400	400	352,5
9	165	260	355	450	317

* В скобках приведена вероятность спроса на ящики