- •Теория электрической связи Сигналы связи и их преобразование
- •Новосибирск 2004 предисловие
- •Глава 1 основные понятия и определения
- •§ 1.1. Сигналы, сообщения, системы связи
- •§ 1.2 Характеристики сигналов связи
- •§ 1.3 Задачи и методы теории передачи сигналов
- •Глава II детерминированные сигналы
- •§ 2.1 Спектральное представление детерминированных сигналов
- •§ 2.2 Спектры некоторых импульсных сигналов
- •§ 2.3 Модулированные колебания и их спектры
§ 2.2 Спектры некоторых импульсных сигналов
Рассмотрим некоторые конкретные примеры использования преобразования Фурье для анализа импульсных сигналов.
1 Одиночный прямоугольный импульс. Пусть имеется прямоугольный импульс длительностью и амплитудой h (рис.2.3).
Для такого импульса прямым преобразованием Фурье находим
(2.2.1)
где – площадь импульса. График этого спектра для положительных частот показан на рис. 2.3. Спектральная плотность обращается в нуль при , а при ω=0, s(ω)=q.
Замечаем, что при уменьшении длительности импульса функция s(ω) растягивается, т. е. ширина спектра увеличивается. При увеличении ширина спектра уменьшается.
Если ограничить спектр прямоугольного импульса первым нулем спектральной плотности, т.е. круговой частотой , то для произведения длительности импульса на ширину спектра получим
Это равенство является частным случаем более общего равенства справедливого для всех импульсных сигналов:
(2.2.2)
согласно которому произведение ширины спектра сигнала на его длительность есть величина постоянная, близкая к единице. Существует несколько определений длительности импульса и ширины спектра. Согласно одному из них под длительностью импульса (шириной спектра) понимается промежуток времена (полоса частот), в котором сосредоточена подавляющая часть энергии импульса.
2 Колокольный (гауссов) импульс. Колокольным называется импульс, который описывается функцией
(2.2.3)
Для спектральной плотности такого импульса с использованием преобразования Фурье получим
(2.2.4)
Графики колокольного импульса и модуля его спектра показаны на рис. 2.4.
Первой особенностью такого импульса является то, что спектральная плотность его совпадает по форме с временной функцией, т.е. является также гауссовой кривой. Другой особенностью такого импульса является то, что из всех возможных форм импульсов он имеет наименьшее произведение длительности на ширину спектра
3 Единичный импульс. Единичным импульсом или дельта-функцией называется функция бесконечно малой длительности с конечной площадью, равной единице:
Такую функцию можно рассматривать как предел прямоугольного импульса с длительностью τ и высотой при . Устремляя в (2.2.1) , для спектральной плотности единичного импульса получим
(2.2.5)
Этот же результат можно получить и обычным способом:
(2.2.5')
так как при всех значениях , а при экспоненциальный множитель обращается в единицу. Здесь использовалось так называемое фильтрующее свойство δ-функции, согласно которому
(2.2.6)
Таким образом, спектр единичного импульса является сплошным и равномерным с единичной спектральной плотностью вплоть до бесконечно больших значений частоты.
Единичный импульс является математической абстракцией. Физически можно реализовать только короткий импульс, т.е. импульс очень малой длительности τ, с площадью, равной q. Спектр такого импульса определятся выражением
При малых τ величина и
(2.2.7)
Следовательно, короткий импульс любой формы имеет равномерный спектр вплоть до частот порядка (пока выполняется условие ). Далее спектральная плотность начинает убывать.
4 Единичная функция. Единичная функция, единичный скачок или функция включения записывается в виде
(2.2.8)
Заметим, что рассмотренный ранее единичный импульс можно рассматривать как производную единичной функции:
а единичную функцию можно выразить интегральным соотношением
(2.2.9)
Используя теорему о спектре интеграла (2.1.31) а выражение (2.2.5), получим
(2.2.10)
Модуль спектра этой функции есть . Зависимость его от частоты показана на рис.2.5 б.
Единичная функция широко используется в качестве испытательного сигнала при исследовании переходных процессов в электрических цепях. Напомним, что отклик цепи h(t) на единичную функцию называется переходной характеристикой.
5 Периодическая последовательность прямоугольных импульсов. Рассмотрим
пульсов. Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с длительностью τ и периодом Т (Рис.2.6). Используя (2.1.13). для такой последовательности получим
(2.2.11)
Этот же результат можно было бы получить и из выражения (2.2.1) используя соотношение (2.1.26), согласно котором спектральная плотность s(ω) одиночного импульса длительностью τ точностью до постоянного множителя совпадает с огибающей спектра амплитуд периодической последовательности таких же импульсов с периодом следования Т. График модуля спектра (2.2.1) для положительных частот показан на рис.2.6.
На основании (2.1.11) и (2.2.11) периодическая последовательность прямоугольных импульсов разлагается в ряд Фурье следующим образом
(2.2.12)
Отметим теперь следующее обстоятельство. Если при неизменной длительности импульса увеличивается период Т последовательности, то расстояние между спектральными линиями уменьшается, расстояние же между нулями огибающей спектра, равное остается неизменным. При неизменной длительности периода Т и изменении длительности импульса будет меняться расстояние между нулями огибающей спектра.
Число гармоник, укладывающихся в интервале или между любыми двумя соседними нулями, будет определяться величиной
(2.2.13)
Величина Q, равная отношению длительности периода к длительности импульсов, называется скважностью периодической импульсной последовательности.
6 Одиночный радиоимпульс. Радиоимпульсом называется импульс, временная функция которого записывается в виде
(2.2.14)
где τ - длительность импульса, a(t) – огибающая амплитуд, - частота, а - начальная фаза высокочастотного колебания, период которого . Спектральная плотность радиоимпульса в соответствии с (2.1.19) будет равна
(2.2.15)
где
(2.2.16)
– спектральные плотности огибающей импульса a(t), смещенные по оси частот на постоянную величину (ср.с (2.1.30)).
Таким образом, спектральная плотность радиоимпульса полностью определится спектральной плотностью его огибающий. Можно показать, что при и для большинства радиоимпульсов выполняется условие
(2.2.17)
Поэтому с достаточной точностью спектральную плотность одинокого радиоимпульса можно определять по формуле
(2.2.18)
Проиллюстрируем сказанное на примере радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис.2.7):
(2.2.19)
Из (2.2.15) и (2.2.16) получим
(2.2.20)
откуда для модуля и фазы спектральной плотности находим
(2.2.21)
График модуля спектральной плотности показан на рис. 2.7
Как и следовало ожидать, отрезок гармонического колебания имеет сплошной спектр. При неограниченном увеличении длительности импульса τ получим гармоническое колебание в точном смысле определения периодическое функции. Сплошной спектр колебания при этом вырождается в одну спектральную линию на частоте .